Принцип наименьшего действия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Принцип наименьшего действия — способ получения закона движения тела при помощи поиска наименьшего значения специального функционала - действия. Принцип наименьшего действия — наиболее важный среди семейства экстремальных принципов; он является одним из ключевых положений современной физики.
Первая формулировка принципа дана П. Мопертюи (P. Maupertuis(фр.)) в 1744. Отсюда он вывел законы отражения и преломления света.
[править] Принцип наименьшего действия в классической механике
Напомним вначале, на примере физической системы с одной степенью свободы, что действие, о котором тут идёт речь, это функционал, т. е. правило, которое каждой функции x(t) сопоставляет некоторое число. Действие имеет вид: ![S[x] = \int \mathcal{L}(x(t),\dot{x}(t),t) dt](../../../math/7/6/9/769532b7680cbd555bf20d126033b305.png)
, где 
есть лагранжиан системы, зависящий от траектории (т.е. координаты, которая в свою очередь зависит от времени), её первой производной по времени, а также может явно зависеть от времени.
Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории, какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип наименьшего действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:
- тело движется так, чтобы минимизировать действие.
Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело.
Заметим, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически означает, что можно построить функционал, принимающий экстремальное значение при истинном движении.
[править] Принцип наименьшего действия в квантовой механике
В квантовой механике мы спускаемся ещё глубже. Здесь уже никто не требует от частицы двигаться одним образом и не двигаться другим. Мы просто честно говорим то, что диктуется законами квантовой механики. А именно:
- частица движется из начального состояния в конечное сразу по всем мыслимым траекториям (которых, очевидно, бесконечное число). Волновая функция частицы является суммой волновых функций всех этих траекторий и записывается в виде функционального интеграла
![\psi=\int [Dx] \exp(i S[x]/\hbar)\,.](../../../math/9/9/c/99c4f90b1d3c2f62dd625de922b85e34.png)
Здесь ![\int [Dx]](../../../math/7/2/2/7223ad3039a5b1766f1115216bc82ad6.png)
— это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а 
— постоянная Планка. Подчеркнём, что действие в экспоненте появляется само, при изучении оператора эволюции в квантовой механике.
Математический анализ этого выражения показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий взаимосокращаются в этом интеграле. Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем — минимуму). Это — чисто математический факт из теории функций комплексного переменного; на нём, например, основан метод стационарной фазы.
В результате частица в полном согласии с законами квантовой механики движется одновременно по всем траекториям, но в обычных условиях в наблюдаемые значения дают вклад только траектории, близкие к экстремальным (т.е. классическим). Поскольку квантовая механика переходит в классическую в пределе больших энергий, то можно считать, что это — квантовомеханический вывод классического принципа наименьшего действия.
Квантование в терминах функциональных интегралов (часто также говорят: «интегралы по путям» или «суммирование историй») принадлежит Ричарду Фейнману.
