Предел последовательности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Определение

Пределом последовательности вещественных чисел называется число A, если выполнено следующее условие:

$\forall \varepsilon>0 \exists N: \forall n(n>N \Rightarrow |x_{n}-A|<\varepsilon)$ ,

то есть для любой окрестности точки A можно указать номер, начиная с которого все элементы последовательности будут лежать в этой окрестности. Также можно дать эквивалентное определение: число A называется пределом последовательности, если в любой его окрестности содержится бесконечное число элементов последовательности, а вне этой окрестности — лишь конечное число. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся к числу A, если нет, то расходящейся. Тот факт, что число A является пределом последовательности {x_n}, записывается следующим образом:

$\lim_{n\to\infty}{x_{n}}=A$ .

Важно отдавать себе отчет в неустранимом недостатке этого определения: оно объясняет, что такое предел, но не дает ни способа его вычисления, ни даже информации о его существовании. Всё это добывается довольно тяжелым трудом из доказываемых ниже свойств предела.

Всё вышесказанное относилось к конечным пределам, но определение предела можно расширить и на бесконечные значения: $+\infty$ и $-\infty$ . Для примера запишем определение предела, равного плюс бесконечности:

$\forall M>0 \exists N: \forall n(n>N \Rightarrow x_{n}>M)$ .

Термин «сходящаяся последовательность» не распространяется на последовательности с бесконечными пределами.

[править] Свойства

Имеют место следующие арифметические свойства пределов:

$\lim_{n\to\infty}{kx_{n}}=k\lim_{n\to\infty}{x_{n}}$ , где k — константа;
$\lim_{n\to\infty}{(x_{n}+y_{n})}=\lim_{n\to\infty}{x_{n}}+\lim_{n\to\infty}{y_{n}}$ , если указанные пределы существуют;
$\lim_{n\to\infty}{(x_{n}\cdot y_{n})}=\lim_{n\to\infty}{x_{n}}\cdot \lim_{n\to\infty}{y_{n}}$ при том же условии;
$\lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n}}{y_{n}}}=\frac{\lim_{n\to\infty}{x_{n}}}{\lim_{n\to\infty}{y_{n}}}$ , если пределы существуют и последний предел не равен нулю.

Свойства 1 — 3 очевидным образом выводятся из определения предела; докажем последнее свойство. Для начала нужно доказать, что 1/y_n сходится к 1/b, где b — предел y_n. Рассмотрим разность $|\frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{b}|$ . При достаточно больших n она имеет смысл, т. к. y_n не равен нулю. Проведём преобразования:

$|\frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{b}| = |\frac{1}{b}||b-y_{n}||\frac{1}{y_{n}}|$ (1).

Последовательность 1/y_n ограничена, то есть меньше некоторого числа M. Поскольку y_n сходится к b, то существует $N: \forall n (n>N\Rightarrow |y_{n}-b|<\frac{\varepsilon |b|}{M})$ . Подставим эти значения в выражение (1) и получим, что при таких n разность $|\frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{b}|<\varepsilon$ , ч. т. д.

Верны также следующие теоремы:

1. Если при достаточно больших n (или, как говорят, финально) выполняется неравенство x_n < y_n, то, если обе последовательности имеют пределы a и b, можно утверждать, что $a\leq b$ . Для доказательства сначала доказывается обратный факт (если a < b, то последовательности финально разграничены, а если a = b, то о неравенстве членов последовательностей ничего сказать нельзя). Действительно, у a и b можно взять непересекающиеся окрестности (такие, что каждая точка первой лежит левее каждой точки второй на числовой прямой), в которых финально должны будут лежать та и другая последовательности.

2. Если финально x_n < y_n < z_n и пределы x_n и z_n равны A, то предел y_n также существует и равен A (так называемая теорема о двух милиционерах). Докажем её: для любого эпсилон при достаточно больших n верно следующее:

$A-\varepsilon < x_{n} < y_{n} < z_{n} < A+\varepsilon$ ,