Магический квадрат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица $n\times n$ , заполненная $n 2$ числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от $1$ до $n 2$ .

Магические квадраты существуют для всех порядков $n\ge 1$ , за исключением $n = 2$ , хотя случай $n = 1$ тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Изображение:MagicSquare-ExplicitSums.png

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

$M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}$

Содержание

1 Исторически значимые магические квадраты
- 1.1 Квадрат Ло Шу
- 1.2 Квадрат Альбрехта Дюрера
2 Квадраты с дополнительными свойствами
- 2.1 Дьявольский магический квадрат
3 Построение магических квадратов
4 Примеры более сложных квадратов
5 См. также

[править] Исторически значимые магические квадраты

[править] Квадрат Ло Шу

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Ло Шу (кит. трад. 洛書, упрощ. 洛书, пиньинь luò shū) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображения на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..

4	9	2
3	5	7
8	1	6

[править] Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия I»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

[править] Квадраты с дополнительными свойствами

[править] Дьявольский магический квадрат

Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует всего три дьявольских магических квадрата 4×4:

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

1	12	7	14
8	13	2	11
10	3	16	5
15	6	9	4

1	8	11	14
12	13	2	7
6	3	16	9
15	10	5	4

[править] Построение магических квадратов

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. (http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm). Найти все магические квадраты порядка $n$ удается только для $n\le 4$ , поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при $n > 4$ . Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами $(i, j)$ поставить число $1+((i-j+(n-1)/2) \mod n)n+((i+j-(n+1)/2) \mod n)$ .

[править] Примеры более сложных квадратов

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности (см. http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf). Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее (см. http://www.kspu.ru/magazine/no4/pub/pr3-4.htm). Сказанное иллюстрируют следующие схемы:

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

100	99	93	7	5	6	4	8	92	91
11	89	88	84	16	15	17	83	82	20
30	22	78	77	75	26	74	73	29	21
61	39	33	67	66	65	64	38	32	40
60	52	48	44	56	55	47	43	49	51
50	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	18	14	85	86	87	13	12	90
10	9	3	94	95	96	97	98	2	1