Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.
Содержание |
[править] Условие устойчивости
Передаточная функция динамической системы может быть представлена в виде дроби
.
Устойчивость достигается тогда, когда все её полюса находятся в левой полуплоскости на плоскости корней. В правой полуплоскости их быть не должно. Если
получена замыкание отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией
, тогда нули передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции
Выражение
называется характеристическим уравнением системы.
[править] Принцип аргумента Коши
Из теории функций комплексного переменного известно, что контур охватывающий на
-плоскости некоторое число неаналитических точек может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость
) при помощи функции
таким образом, что получившийся контур
будет охватывать центр
-плоскости
раз, причём
, где
— число нулей, а
— число полюсов функции
. Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура
, а отрицательным — противоположное ему.
[править] Формулировка критерия
Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:
- участок, идущий вверх по оси
, от
до
.
- полуокружность радиусом
, начинающаяся в точке
и достигающая конца в точке
по часовой стрелке.
Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы , в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции
минус количество полюсов
в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку
, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции
. Заметив, что функция
имеет такие же полюса, что и функция
, а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:
Следствия критерия Найквиста-Михайлова:
- Если разомкнутая система с передаточной функцией
устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку −1.
- Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов
вокруг точки −1 должной быть равно числу полюсов
в правой полупоскости.
- Количество дополнительных охватов (больше, чем
) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.
[править] См. также
- Критерий устойчивости Рауса
- Критерий устойчивости Гурвица
- Критерий устойчивости в пространстве состояний
- ЛАФЧХ