Интерполяция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, т.е. интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.
Содержание |
[править] Определения
Пусть имеется n значений xi, каждому из которых соответствует своё значение yi. Требуется найти такую функцию F, что:
При этом:
- xi называют узлами интерполяции
- пары (xi , yi) называют точками данных
- разницу между «соседними» значениями xi-xi-1 — шагом
- функцию F (x) — интерполирующей функцией или интерполянтом.
[править] Способы интерполяции
[править] Интерполяция функции одной переменной
- Метод конечных разностей
- ИМН-1 и ИМН-2
- Полином Лагранжа (интерполяционный полином)
- Сплайн-функция
- Интреполирование по формулам Ньютона
- Интреполирование по формулам Гауса
[править] Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y
- Полином Лагранжа
- обратное интерполирование по формуле Ньютона
- Обратное интерполирование по формуле Гаусса
[править] Интерполяция функции двух (и более) переменных
[править] Смежные концепции
- Экстраполяция - методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
- Аппроксимация - методы построения приближённых кривых