Выборочная функция распределения
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.
[править] Определение
Пусть - выборка из распределения, задаваемого функцией распределения F(x). Будем считать, что - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов Ω. Пусть . Определим случайную величину следующим образом:
- ,
где - индикатор события A. Таким образом выборочная функция распределения в точке x равна количеству элементов выборки, не превосходящих значение x. Случайная величина называется выборочной функцией распределения выборки .
[править] Основные свойства
- Пусть зафиксирован элементарный исход . Тогда является функцией распределения дискретного распределения, задаваемого следующей функцией вероятности:
- ,
где xi = Xi(ω), а - количество элементов выборки, равных x. В частности, если все элементы выборки различны, то .
- Математическое ожидание этого распределения имеет вид:
- .
Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.
- Аналогично, выборочная дисперсия - это теоретическая дисперсия выборочного распределения.
- Случайная величина имеет биномиальное распределение:
- .
- Выборочная функция распределения является несмещённой оценкой функции распределения F(x):
- .
- Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
- .
- Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения:
- почти наверное при .
- Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если , то
- по распределению при .