Polígono regular

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Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados e ângulos congruentes.

Triângulo equilátero	Quadrado	Pentágono regular	Hexágono regular
Heptágono regular	Octógono regular	Eneágono regular	Decágono regular

[editar] Formulário

Para um polígono regular de $n$ lados, e medida de lado $l$ :

[editar] Ângulos Internos (A_i)

Ângulos formados entre dois lados consecutivos.

$A_i={(n-2) .180^\circ \over n}$

$A_i={(n-2) .\pi \over n}$ (em radianos)

[editar] Soma dos Ângulos Internos (S_i)

Como $S_i={n .A_i}\,\;$ , então:

$S_i={(n-2) .180^\circ}$

$S_i={(n-2) .\pi}\,\;$ (em radianos)

[editar] Ângulos Externos (A_e)

São os suplementos dos ângulos internos.

$A_e={360^\circ \over n}$

$A_e={2\pi \over n}$ (em radianos)

A soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre 360º.

[editar] Raio (r)

Distância do vértice do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência cincunscrita ao polígono.

$r={l \over 2 .cos(A_i/2)}$

$r={l \over 2 .sen(\pi/n)}={l \over 2 .sen(180^\circ/n)}$

[editar] Apótema (a)

Distância perpendicular de um dos lados do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência inscrita no polígono.

$a={\sqrt{r^2 - l^2/4}}$

$a={r .sen(A_i/2)}\,\;$

$a={r .cos(\pi/n)}={r .cos(180^\circ/n)}$

$a={l .tan(A_i/2) \over 2}$

$a={l \over 2 .tan(\pi/n)}={l \over 2 .tan(180^\circ/n)}$

[editar] Altura (h)

Em um polígono com número par de lados, é a distância perpendicular entre 2 lados opostos. Já em um polígono com número ímpar de lados, é a distância perpendicular entre um lado e seu vértice oposto.

Se n é par:

$h={2 .a}\,\;$

Se n é ímpar:

$h={r + a}\,\;$

[editar] Diagonais (d)

Distância entre 2 vértices não-consecutivos do polígono (ou seja, as fórmulas referentes a diagonais não se aplicam a triângulos).

[editar] Diagonal principal (d_p)

Distância entre 2 vértices opostos do polígono. Só existe caso o polígono tenha um número par de lados.

Se n é par:

$d_p={2 .r}\,\;$

[editar] Maior diagonal (d+)

Maior distância entre 2 vértices do polígono. Em um polígono com número par de lados é a diagonal principal.

Se n é ímpar e maior que 3:

$d+={h \over sen[\frac{A_i .(n-1)}{2 .(n-2)}]}$

[editar] Menor diagonal (d-)

Menor distância entre 2 vértices do polígono.

Para n maior que 3:

$d-={l .sen(A_i) \over sen[\frac{A_i}{(n-2)}]}$

[editar] Número de diagonais (Nd)

$Nd={n .(n-3) \over 2}$

[editar] Perímetro (P)

Soma da medida dos lados.

$P={n .l}\,\;$

[editar] Área (A)

Superfície ocupada pelo polígono.

$A=\frac{n.l^2}{4 .tan(\pi/n)}=\frac{n.l^2}{4 .tan(180^\circ/n)}$

$A={n .l .a \over 2}$

[editar] Circunferência circunscrita

Circunferência que tangencia todos os vértices do polígono, ficando externa a ele.

[editar] Perímetro (P_circ)

$P_{circ}={2 .\pi .r}\,\;$

$P_{circ}={\pi .l \over sen(\pi/n)}={\pi .l \over sen(180^\circ /n)}$

[editar] Área (A_circ)

$A_{circ}={\pi .r^2}\,\;$

$A_{circ}={\pi .l^2 \over 2 .sen^2(\pi/n)}={\pi .l^2 \over 2 .sen^2(180^\circ /n)}$

[editar] Circunferência Inscrita

Circunferência que tangencia todas as arestas do polígono, ficando interna a ele.

[editar] Perímetro (P_ins)

$P_{ins}={2 .\pi .a}\,\;$

$P_{ins}={\pi .l \over tan(\pi/n)}={\pi .l \over tan(180^\circ /n)}$

[editar] Área (A_ins)

$A_{ins}={\pi .a^2}\,\;$

$A_{ins}={\pi .l^2 \over 2 .tan^2(\pi/n)}={\pi .l^2 \over 2 .tan^2(180^\circ /n)}$

A diferença entre as áreas das circunferências circunscrita e inscrita pode ser expressa por $\Delta A_{\circ}=A_{circ} -A_{ins}={\pi .l^2 \over 4}$

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