Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Z Wikipedii
Twierdzenie Banacha o kontrakcji (o punkcie stałym) głosi, że dowolna kontrakcja przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma punkt stały.
Spis treści |
[edytuj] Sformułowanie
Jeśli (X,ρ) jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś 
jest kontrakcją, to:
- odwzorowanie f ma dokładnie jeden punkt stały x0 oraz
- dla dowolnego
ciąg 
jest zbieżny do x0.
[edytuj] Idea dowodu
Jednoznaczność punktu stałego jest dość oczywista: niech bowiem 
będzie stałą Lipschitza kontrakcji f, a x1, x2 jej różnymi punktami stałymi. Mamy wówczas
,
a więc sprzeczność.
Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt i oszacujmy odległość ρ(fn(x),fm(x)) między wartością n-tej i m-tej iteracji kontrakcji f dla punktu x (korzystając przy tym ( | m − n | − 1)-krotnie z nierówności trójkąta. Należy jeszcze wykazać, iż ciąg jest ciągiem Cauchy'ego, następnie łatwo już zauważyć wykorzystując ciągłość funkcji f, że jego granica jest punktem stałym f.
[edytuj] Zastosowania
Twierdzenie to mówi, że gdy położymy mapę Polski gdzieś w Polsce, to dokładnie jeden punkt na mapie pokrywa się z punktem na ziemi.
