Wymiar (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

W najprostszym ujęciu jest to ilość prostopadłych do siebie prostych, które można poprowadzić przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a przestrzeń trój-wymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy jednak różne definicje wymiaru. Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru różne definicje tego pojęcia są równoważne dla prostych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, z której wynosimy nasze doświadczenia. Dlatego mówimy, że żyjemy w "trzech wymiarach". Bardziej precyzyjnie, oznacza to, że trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa stanowi dobry matematyczny model "fizycznej" otaczającej nas przestrzeni.

Spis treści

1 Wymiar przestrzeni liniowej
2 Wymiar przestrzeni Hilberta
3 Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)
- 3.1 Definicja
- 3.2 Historia
4 Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia)
5 Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue'a (topologia)
6 Wymiar rozmaitości topologicznej
7 Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa
8 Równoważność definicji wymiaru

[edytuj] Wymiar przestrzeni liniowej

Wymiar przestrzeni liniowej, to liczba (albo moc, w przypadku gdy przestrzeń nie ma bazy skończonej) elementów dowolnej bazy tej przestrzeni.

Wymiar przestrzeni euklidesowej Rⁿ wynosi n, a ponieważ zdaje się, że przestrzeń R³ dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można stwierdzić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

Np. w układzie dwuwymiarowym do określenia położenia dowolnego punktu w przestrzeni potrzebne są dwie współrzędne np. p₁ (20,30), w układzie trójwymiarowym trzy współrzędne p₂ (20,30,45).

[edytuj] Wymiar przestrzeni Hilberta

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, więc jej wymiar jest definiowany dokładnie tak samo, jak dla przestrzeni liniowej. Ten wymiar liniowy jest zwykle nazywany "wymiar Hamela".

Ważniejszym dla przestrzeni Hilberta pojęciem jest "wymiar Hilberta", tzn moc bazy Hilberta (równoważne: najmnieszy wymiar Hamela gęstej podprzestrzeni). Na przykład, wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest albo skończony albo $\aleph_0$ , a wymiar Hamela takiej przestrzeni jest albo skończony (= wymiarowi Hilberta) albo $2^{\aleph_0}$ .

Zobacz: przestrzeń Hilberta

[edytuj] Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)

[edytuj] Definicja

Niech X będzie przestrzenią regularną Mały wymiar indukcyjny przestrzeni X, oznaczany symbolem ind X, będący liczbą całkowitą nie mniejszą od -1, lub nieskonczonością określamy za pomocą indukcyjnej definicji wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(MU1) $\mathrm{ind}X = -1 \iff X = \empty$
(MU2) $\mathrm{ind}X \leq n \geq 0$ , jeśli dla każdego $x \in X$ oraz jego dowolnego otoczenia $V \subset X$ istnieje zbiór otwarty $U \subset X$ taki, że $x \in U \subset V$ oraz $\mathrm{ind}\partial U \leq n - 1$
(MU3) indX = n, gdy $\mathrm{ind}X \leq n$ oraz nie zachodzi $\mathrm{ind}X \leq n - 1$
(MU4) $\mathrm{ind}X = \infty$ , gdy dla n = -1, 0, 1, ... nie jest prawdą, że $\mathrm{ind}X \leq n$ .

[edytuj] Historia

Mały wymiar indukcyjny został zdefiniowany niezależnie przez Pawła Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.

[edytuj] Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia)

[edytuj] Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue'a (topologia)

Dowolnej przestrzeni normalnej X można przypisać wymiar pokryciowy Čecha-Lebegue'a, który będziemy oznaczać dimX. Wymiar dimX jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż -1, lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:
(CL1) dimX<=n, jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni X można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde n+2 zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.
(CL2) dimX=n, jeśli dimX<=n, ale nieprawda, że dimX<=n-1.
(CL3) dimX jest nieskończony, jeśli dla żadnej liczby n nie zachodzi warunek (CL1).
Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe warunki mają charakter porządkujący.
Historia pojęcia Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue'a własności kostki n-wymiarowej.
Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.
Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że każde cztery małe prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby trójki prostokątów się nie przecinały.
Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie cegły) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale cztery prostopadłościany mogą mieć niepuste przecięcie (cztery cegły muszą się stykać).
Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć "cegiełkami" odpowiedniego wymiaru, ale dla pokryć dowolnymi zbiorami. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Čecha-Lebesgue'a.
Literatura Ryszard Engelking Teoria wymiaru, Warszawa 1981; Roman Duda O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.

[edytuj] Wymiar rozmaitości topologicznej

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią Rⁿ. Wtedy n jest wymiarem rozmaitości.

[edytuj] Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa

Ściśle rzecz biorąc nie istnieje ogólnie przyjęte pojęcie "wymiaru fraktalnego". W znaczeniu potocznym (np. w literaturze popularn0-naukowej) wymiar fraktalny oznacza najczęściej Wymiar Hausdorffa, najczęściej spotykaną charakterystykę fraktala. Istnieje jednak szereg pojęć wymiaru ważnych tak z teoretycznego jak i praktycznego punktu widzenia. Do najważniejszych można zaliczyć wymiar pudełkowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).

[edytuj] Równoważność definicji wymiaru

Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru różne definicje wymiaru są równoważne dla prostych (dostatecznie regularnych) zbiorów w przestrzeni euklidesowej. Jednak w wielu przypadkach różne definicje wymiaru dają inne wielkości.

Przykłady:

Płaszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrzeń liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest płaszczyzną, zatem mały i duży wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa płaszczyzny zespolonej jest równy 2. Wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego jest równy 1 (zbiór daje się rozciąć pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosi $\frac{\log 3}{\log 2}\approx 1.58$ .