Lagrangemekanikk

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Lagrangemekanikk er en formulering av klassisk mekanikk introdusert av Joseph Louis Lagrange i 1788. Sammen med Hamiltonmekanikk kalles dette også analytisk mekanikk. Formuleringen er mer abstrakt enn newtonsk mekanikk og beskriver fysiske systemer ved hjelp av lagrangefunksjonen som er et funksjonal av et sett variable og deres deriverte. Bevegelseslikningene (Euler-Lagrange-likninger) til systemet bestemmes ved å minimere virkningen, dvs. minimere integralet av lagrangefunksjonen langs en gitt vei.

Lagrangemekanikk fungerer i alle systemer hvor den mekaniske energien er bevart, for eksempel klassisk gravitasjon og elektromagnetisme, men må modifiseres hvis det er varmetap, f.eks. en bil som bremser.

Lagrangemekanikk fungerer i vilkårlige koordinatsystemer, mens Newtons lover i utgangspunktet bare gjelder i ikkeakselererte koordinatsystemer. Lagrangeformalisme er også sentral i kvantemekanikk og er et bindeledd mellom klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Viktige er også bevaringslovene som kan utledes ved hjelp av Noethers teorem.

For kontinuerlige systemer generaliseres lagrangefunksjonen til en lagrangetetthet.

[rediger] Euler-Lagrange-likninger

Lagrangefunksjonen til et system kan ofte skrives

$L[ q(t), \dot q(t) ] = T-V \,$

hvor T er kinetisk energi, V er potensiell energi, q er en generalisert koordinat og $\dot q$ er dens tidsderiverte. Variabelen og dens deriverte definerer en vei i faserommet, dvs. $(q(t),\dot q(t))$ . Virkningen langs denne veien er gitt ved

$S[q] = \int_{t_0}^{t_1}~L[q(t),\dot q(t)] dt\,$

Bevegelseslikningene til systemet bestemmes ved at virkningen er minimal (også kalt Hamiltons prinsipp). Vi krever at den funksjonalderiverte av virkningen med respekt på koordinatene er null, dvs.

$\frac{\delta S[q(t)]}{\delta q(t)} = 0 \,$

Dette gir Euler-Lagrange-likningene til systemet

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0\,$

For en mengde koordinater $q = (q 1, q 2,..., q n)$ får man én likning per koordinat, q_i. Disse likningene beskriver den klassiske bevegelsen til systemet.

[rediger] Kvantemekanikk

Kvantemekanikk kan også formuleres ved hjelp av Lagrangefunksjonen. Richard Feynmans veiintegralformalisme bygger på virkningen som den sentrale størrelsen. Men i steden for å kreve minimal virkningen, som ville gitt et klassiske bevegelseslikninger, summeres det over all mulige veier. Dette kalles kvantisering ved hjelp av veiintegral. Fordelen med Lagrangefunksjoner er at de er lorentzinvariante, dvs. de er kompatible med Einsteins relativitetsteori. For kvantisering i krumme rom, dvs. generell relativitetsteori, er veiintegraler eneste mulighet.