Spectrum (wiskunde)

In de wiskunde bestaat een rits begrippen die de naam spectrum dragen, en die alle rechtstreeks of onrechtstreeks zijn afgeleid van het natuurkundige begrip spectrum. We halen hier de meest gebruikte aan, in volgorde van toenemende conceptuele afstand tot de natuurkunde.

[bewerk] Spectrum van een lineaire operator

De kwantummechanica stelt dat licht geen continu verschijnsel is, maar daarentegen voorkomt in discrete pakketten, quanta of kwanten, waarvan de energiehoeveelheid recht evenredig is met de frequentie. Zij legt het lijnenspectrum van een gloeiend gas uit door te stellen dat het gas elektromagnetische golven (licht) uitstraalt waarvan de energie precies overeenkomt met het verschil tussen twee discrete "energieniveau's" van het atoom of molecuul.

Anderzijds komen de energieniveau's van het atoom overeen met de eigenwaarden van een onbegrensde lineaire transformatie van (een deelruimte van) een Hilbertruimte. Deze transformatie heet energie-operator of Hamiltoniaan.

Bij uitbreiding noemt men het spectrum van een lineaire transformatie T van een topologische vectorruimte: de verzameling van alle getallen λ uit het scalairenlichaam waarvoor T − λ géén begrensde inverse transformatie heeft. Deze is over het algemeen groter dan de verzameling eigenwaarden; om het onderscheid te maken noemt men het discreet spectrum de verzameling geïsoleerde eigenwaarden van eindige multipliciteit.

Het "natuurkundig" spectrum bestaat dus uit de verzameling verschillen van telkens twee getallen uit het "wiskundig" spectrum. Dit komt bijvoorbeeld tot uiting in de Rydbergformule, een berekening van de lijnfrequenties van het waterstofspectrum.

[bewerk] Spectrum van een commutatieve Banach-algebra

Commutatieve Banach-algebra's zijn heel specifieke soorten topologische vectorruimten.

Een belangrijk voorbeeld van een commutatieve Banach-algebra wordt gevormd door de collectie van alle begrensde lineaire transformaties op een complexe Hilbertruimte die commuteren met een gegeven zelftoegevoegde operator (de energie-operator uit de kwantummechanica is altijd zelftoegevoegd).

Het spectrum van de zelftoegevoegde operator komt overeen met de verzameling ringhomomorfismen van de Banach-algebra naar de complexe getallen.

Vandaar de definitie: het spectrum van een commutatieve Banach-algebra is de verzameling van alle complexe homomorfismen van die algebra.

Er bestaat een natuurlijke bijectie tussen dit spectrum en de verzameling van alle maximale idealen van de Banach-algebra.

[bewerk] Spectrum van een ring

Een Banach-algebra is een bijzonder voorbeeld van een ring. In de abstracte algebra noemt men het spectrum van een commutatieve ring: de verzameling van alle priemidealen (niet alleen de maximale idealen) van die ring.

Het spectrum van een ring kan worden uitgerust met een bijzondere topologie, de Zariskitopologie.