Sigma-lokaal-eindige basis
Een sigma-lokaal-eindige basis is een gespecialiseerd begrip uit de topologie, een tak van de wiskunde. Het is een doorslaggevend kenmerk van topologische ruimten die metriseerbaar zijn, d.w.z. afkomstig van een metrische ruimte.
[bewerk] Definities
Zij X een verzameling, en 
een familie deelverzamelingen van X. Dan heet 
lokaal eindig als ieder element 
tot hoogstens eindig veel leden van de familie behoort:
De familie heet sigma-lokaal-eindig als ze kan geschreven worden als een aftelbare vereniging van lokaal eindige families:
Een sigma-lokaal-eindige basis voor een topologische ruimte 
is dan een sigma-lokaal-eindige familie open verzamelingen die een basis vormt voor 
.
[bewerk] Aftelbaarheidsaxioma's
Het bestaan van een sigma-lokaal-eindige basis voor een gegeven topologische ruimte is een aftelbaarheidsaxioma. Het ligt logisch tussen eerste aftelbaarheid en tweede aftelbaarheid in. Als een aftelbare basis heeft, dan is die basis een aftelbare unie van singletons en dus a fortiori een sigma-lokaal-eindige basis. En als een sigma-lokaal-eindige basis heeft, dan kan die in ieder punt vanzelf beperkt worden tot een aftelbare lokale basis.
[bewerk] Metriseerbaarheid
Het belang van dit begrip ligt in de stelling van Smirnov-Nagata-Bing:
Een topologische ruimte is metriseerbaar (afkomstig van een metriek) als en slechts als ze aan de volgende twee eigenschappen voldoet:
- scheidingsaxioma T3: singletons zijn gesloten, en elke gesloten verzamelingen kan worden gescheiden van elk punt erbuiten door disjuncte open verzamelingen;
- aftelbaarheidsaxioma Tσ: er bestaat een sigma-lokaal-eindige basis.
