Maxwell-Boltzmann-verdeling

De Maxwell-Boltzmannverdeling of snelheidsverdelingswet van Maxwell-Boltzmann geeft de verdeling van de snelheden van gasmoleculen in een verdund gas weer. De dichtheid f(v) van de snelheidsverdeling van de deeltjes is:

$f(v) = 4 \pi (\frac{m}{2 \pi kT})^{\frac{3}{2}} v^{2}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$ .

Daarin is:

m = massa van een deeltje van het gas in kg
k = Boltzmannconstante (1,38 × 10^-23 [ J K^-1])
v = snelheid van een deeltje in m s^-1
T = temperatuur van het gas in K

De verdeling is genoemd naar James Clerk Maxwell en Ludwig Boltzmann.

[bewerk] Afleiding

In de stationaire toestand zijn de gasdeeltjes gelijkmatig verdeeld over het volume (dit kan ook als consequentie van de hier gegeven afleiding verkregen worden). De energie van een deeltje is z'n kinetische energie en omdat de totale energie E van het gas vastligt, is de snelheid van een deeltje begrensd. We delen alle mogelijke snelheden op in een eindig aantal (m) klassen, waarbinnen de snelheid weinig varieert. Elk van de N deeltjes valt wat z'n snelheid betreft binnen een klasse. De aantallen in de klassen noemen we $n_1,n_2, \ldots, n_m$ . Er geldt dus;

$\sum{n_i}=N$ .

Ook moet het totaal van de energie van de deeltjes gelijk zijn aan de totale energie E van het gas, dus:

$\sum{n_iE_i}=E$ .

De verdeling van de deeltjes over de snelheidsklassen kan op meer manieren gerealiseerd worden. Zijn alle deeltjes in één klasse dan is er maar één manier, maar zijn ze op een na alle in één klasse dan zijn er al N mogelijke realisaties. Algemeen is het aantal realisaties:

$A = \frac{N!}{n_1!n_2! \cdots n_m!}$

Hoe meer realisaties een verdeling heeft, hoe waarschijnlijker het is dat het gas in die toestand is. De meest waarschijnlijke is dus de toestand met het grootste aantal realisaties, zij het dat aan de genoemde voorwaarden moet zijn voldaan. We bepalen onder deze voorwaarden de verdeling waarvoor het aantal realisaties A maximaal is.Om gemakkelijker te rekenen nemen we in plaats van het aantal zelf de logaritme daarvan. Dit is toegestaan omdat de logaritme monotoon stijgend is. Met de multiplicatorenmethode van Lagrange krijgen we de vergelijking:

$\frac{\part \log A }{\part n_k} + \frac{\part}{\part n_k}(a \sum{n_i}+b\sum{n_iE_i})=0$

Uitwerken levert:

$\frac{\part \log (n_k!) }{\part n_k} + a + b E_k = 0$

Met behulp van de formule van Stirling benaderen we:

$\log n! \approx n \log n - n$ ,

zodat voor de vergelijking resulteert:

$\log n_k + a + b E_k = 0\,$ ,

met als oplossing:

$n_k = e^{- a - b E_k} = B e^{- b E_k}$ .

Aangezien de energie in een klasse alleen de kinetische energie van een deeltje in die klasse is, geldt:

$E_k = \frac 12 m v_k^2$ .

De snelheidsverdeling heeft dus de dichtheid:

$n(\vec v) = B e^{-\frac 12 bmv^2}$ .

Deze is alleen afhankelijk van de grootte van de snelheid, zodat voor de dichtheid van de grootte van de snelheid geldt:

$f(v) = 4\pi v^2 B e^{-\frac 12 bmv^2}$ .

Omdat de integraal van de dichtheid gelijk moet zijn aan 1, volgt voor de constante B:

$1 = \int f(v)dv = 4\pi B \int_0^\infty v^2 e^{-\frac 12 bmv^2}dv = 4\pi B \frac{1}{(bm)^{\frac{3}{2}}}\int_0^\infty z^2 e^{-\frac 12 z^2}dz = 4\pi B \frac{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{(bm)^{\frac{3}{2}}}$ .

De dichtheid wordt nu:

$f(v) = \sqrt{ \frac{2}{\pi}} (bm)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac 12 bmv^2}$ .

Voor een ideaal gas geldt voor de verwachte kinetische energie van een deeltje:

$\langle \frac 12 m v^2\rangle = \frac 32 kT$ ,

dus

$\frac 32 kT = \frac 12 m \int_0^\infty v^2 f(v)dv= \frac 12 m \int_0^\infty \sqrt{ \frac{2}{\pi}} (bm)^{\frac{3}{2}} v^4 e^{-\frac 12 bmv^2}dv = \frac 1{2b} \sqrt{ \frac{2}{\pi}} \int_0^\infty z^4 e^{-\frac 12 z^2}dz=\frac 3b$ .