Kwadratische vorm

Inhoud 1 Algemene definitie 2 Klassieke definitie 3 Verband met symmetrische bilineaire vormen 4 Matrix van een bilineaire vorm 4.1 Voorbeeld 4.2 Basisovergangen; reguliere vormen 5 Positief definiete kwadratische vormen 5.1 Voorbeeld

[bewerk] Algemene definitie

In de lineaire algebra verstaat men onder een kwadratische vorm een afbeelding van een vectorruimte naar haar scalairenlichaam K met de eigenschap dat:

• homogeniteit:
• de afbeelding is bilineair.

[bewerk] Klassieke definitie

De klassieke analytische meetkunde bestudeert onder meer kegelsneden en kwadrieken, dit zijn nulpunten van inhomogene kwadratische vormen op resp. . De algemene vergelijking van een vlakke kegelsnede luidt:

f(x,y) = ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0.

De functie f is géén kwadratische vorm in de hogergenoemde zin, tenzij d = e = f = 0. Het verband tussen kegelsneden en abstracte kwadratische vormen vereist een overgang van naar het projectieve vlak . Hierin wordt elk punt weergegeven door een drietal homogene coördinaten waarbij twee drietallen hetzelfde punt voorstellen als ze een reëel veelvoud van elkaar zijn. Bovenstaande vergelijking wordt dan herschreven als

.

Dit is wel degelijk een kwadratische vorm op . Wegens de homogeniteit bestaat de nulpuntsverzameling uit vectorrechten (ééndimensionale deelruimten van ), dus de vergelijking bepaalt ondubbelzinnig een deelverzameling van .

[bewerk] Verband met symmetrische bilineaire vormen

Als de karakteristiek van K verschilt van 2, dan is 1+1 een omkeerbaar element en de kwadratische vorm kan als volgt gereconstrueerd worden aan de hand van B:

In dergelijke lichamen is de theorie der kwadratische vormen dus hetzelfde als de theorie der symmetrische bilineaire vormen. Het vervolg van dit artikel baseert zich op deze situatie.

[bewerk] Matrix van een bilineaire vorm

Als V een eindigdimensionale vectorruimte is, en is een basis voor V, dan worden een symmetrische bilineaire vorm B(v,w) en zijn bijhorende kwadratische vorm volledig bepaald door de getallen

.

Deze getallen worden gewoonlijk genoteerd in een symmetrische -matrix.

[bewerk] Voorbeeld

De matrix van de hogergenoemde kwadratische vorm van een kegelsnede ten opzichte van de canonieke basis is

[bewerk] Basisovergangen; reguliere vormen

De matrix van een kwadratische vorm is afhankelijk van de gekozen basis. Zij A de matrix in één basis, de matrix in een andere basis, en B de matrix die de coördinatentransformatie definieert (de kolommen van B zijn de coördinaten van de eerste basisvectoren ten opzichte van de tweede basis). Dan geldt

Men kan aantonen dat er een basis van V bestaat waarin de matrix diagonaal is (de elementen a_ij met zijn allemaal 0). De diagonaal-elementen zijn de eigenwaarden van A.

Een kwadratische vorm heet regulier als zijn matrix regulier is, d.w.z. dat zijn determinant verschilt van 0. Uit bovenstaande formule blijkt dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen basis, want de coördinatentransformatie B is vanzelf regulier.

[bewerk] Positief definiete kwadratische vormen

Als V een reële vectorruimte is, dan kan men zich beperken tot kwadratische vormen waarvan alle eigenwaarden strikt positief zijn. Dergelijke vormen heten positief definiet.

Een reële kwadratische vorm is positief definiet als en slechts als .

[bewerk] Voorbeeld

Een kegelsnede met vergelijking

f(x,y) = ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

is leeg (de vergelijking heeft geen oplossingen) als haar kwadratische vorm of zijn tegengestelde positief definiet is.