Impulsmoment

De natuurkundige grootheid impulsmoment is te omschrijven als de hoeveelheid draaiing van een object. Het impulsmoment van een massapunt ten opzichte van een punt wordt gedefinieerd door de volgende formule:

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$

waarin:

$\vec{L}$ het impulsmoment [kg.m²/s]
$\vec{r}$ de voerstraal tot het gekozen punt [m]
$\vec{p} = m \vec{v}$ de impuls [kg.m/s], met m de massa en $\vec{v}$ de snelheid

Deze grootheden zijn vectorgrootheden. Dat wil zeggen, ze hebben een grootte én een richting.

Het symbool × duidt het kruisproduct aan. Het kruisproduct van twee vectoren staat loodrecht op het vlak waarin beide vectoren liggen, is maximaal als die vectoren onderling loodrecht zijn, en nul als zij in dezelfde richting liggen: de hoekafhankelijkheid gaat met de sinus van de hoek tussen de vectoren.

Inhoud

1 Wet van behoud van impulsmoment
2 Impulsmoment van kunstschaatsers
3 Impulsmoment van planeten en satellieten
4 Impulsmoment van elementaire deeltjes
5 Zie ook

[bewerk] Wet van behoud van impulsmoment

Het impulsmoment van een massapunt verandert niet als er geen resulterend moment op wordt uitgeoefend. Dit kan als volgt afgeleid worden. De verandering van impulsmoment is:

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$ .

Nu is:

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}$ , de snelheid van het massapunt

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a}$ ,

zodat:

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{v} \times \vec{p} + m\vec{r} \times \vec{a}$ .

Daarin is:

$\vec{v} \times \vec{p} = m \vec{v} \times \vec{v}=0$

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{T}$ ,

met $\vec{T}$ het uitgeoefende koppel.

Indien F nul is of in de richting van de draaias werkt is er geen koppel, zodat

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}$

Dus L = r × p is constant tijdens de beweging van het object. Met andere woorden, L is een behouden grootheid.

[bewerk] Impulsmoment van kunstschaatsers

Een kunstschaatser maakt vaak een pirouette, een snelle ronddraaiende beweging. Daarbij wordt de draaiing ingezet met wijd uitgestrekte armen. Als de schaatser de armen intrekt wordt de draaiing enorm versneld. Dat komt door de wet van behoud van impulsmoment. Bij het intrekken van de armen wordt r kleiner, L is constant, L = r × p, dus p (de impuls) zal toenemen. De impuls, p is bij constante massa evenredig aan de lineaire snelheid.

U kunt dit zelf uittesten met bijvoorbeeld 2 gewichtjes en een bureaustoel:

houd uw armen gestrekt en begin rond te draaien, trek vervolgens de gewichten naar u toe en u zult een grote versnelling voelen.

[bewerk] Impulsmoment van planeten en satellieten

De voorwaarde dat de kracht F evenwijdig is aan r is bijvoorbeeld (in goede benadering) van toepassing bij de baan van een planeet om de zon - de aantrekkende kracht is evenwijdig met de afstandsvector van zon tot planeet, en hangt alleen van de afstand r af.

Als r × p konstant is, terwijl r varieert (elliptische baan), dan zal p zo variëren, dat L konstant blijft. Daaruit kan de perkenwet van Kepler worden afgeleid.

[bewerk] Impulsmoment van elementaire deeltjes

In de atoomfysica geldt hetzelfde: de potentiaal van de atoomkern is bolsymmetrisch, en de elektronentoestanden zijn gekarakteriseerd door hun impulsmoment. Het impulsmoment t.g.v. p wordt het baanimpulsmoment L genoemd. Een elektron heeft echter ook een intrinsiek impulsmoment: de spin S. Het totale impulsmoment J is de resultante van L en S. De notatie is dan s, p, d, .., voor impulsmoment groot 0, 1, 2, .... Opmerkelijk is, dat in een atoom het impulsmoment gelijk aan nul kan zijn. Klassiek zou dat betekenen, dat het elektron stil staat t.o.v. de atoomkern. Maar een atoom moet met kwantummechanika worden beschreven.