Driehoeksongelijkheid
De driehoeksongelijkheid zegt eigenlijk dat de kortste afstand tussen twee punten de rechte lijn is. Gaat men van het punt A naar het punt B via een omweg (de naam zegt het al) over het punt P, dan is de afstand langer dan wanneer men direct in een rechte lijn gaat.(Als P op de lijn tussen A en B ligt maakt het natuurlijk niets uit.)
[bewerk] Meetkundige interpretatie
Voor elk drietal punten A,B,P in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen geldt (met |AB| de afstand tussen A en B):
Als A, B, P collineair zijn en P bevindt zich tussen A en B, geldt
[bewerk] Algebraïsche interpretatie
Gegeven een norm gedefinieerd door een inwendig product en twee vectoren, dan is
- ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| voor alle vectoren x en y
Dit is de eerste driehoeksongelijkheid of de ongelijkheid van Minkowski.
Analoog geldt de tweede driehoeksongelijkheid:
- | ||u|| - ||v|| | ≤ ||u-v||
[bewerk] Abstracte versie
De meest algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling V geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een (verder niet nader bepaalde) "afstandsfunctie" die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.