極座標系

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極座標系(きょくざひょうけい, Polar coordinates system) とは、n 次元ユークリッド空間 Rⁿ に定義され、1 個の動径 r 及び n-1 個の偏角 θ₁,…,θ_n-1 からなる座標系のことである。S = (0,0,x₃,…,x_n) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S に関しては関数行列式が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、点 S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。

[編集] いろいろな極座標とその拡張

[編集] 円座標(Circular Polar Coordinates)

2 次元ユークリッド空間 R² に於ける極座標。1 個の動径 r と 1 個の偏角 θ によってなり、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面ともいう。特異点は (r,θ) = (0,θ) 即ち、xy座標での原点 (x,y) = (0,0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = re^iθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。

変換

${x \choose y} = {r\cos\theta \choose r\sin\theta}, \quad {r \choose \theta} = {\sqrt{x^2+y^2} \choose \theta_{x, y}}$

ただし、θ_{x, y}は

${x \choose y} = \sqrt{x^2+y^2}{\cos\theta_{x, y} \choose \sin\theta_{x, y}}, \quad 0 \leq \theta_{x, y} < 2\pi$

なる実数

[編集] 円柱座標(Cylindrical Polar Coordinates)

円座標で (0,0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円柱座標と言う。円柱座標空間上 (rθz 空間上ともいう) で、θ,z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。また、円柱座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。

変換

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\\z\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}r\\\theta\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sqrt{x^2+y^2}\\\theta_{x, y}\\z\end{pmatrix}$

ただし、θ_{x, y}は

${x \choose y} = \sqrt{x^2+y^2}{\cos\theta_{x, y} \choose \sin\theta_{x, y}}, \quad 0 \leq \theta_{x, y} < 2\pi$

なる実数

[編集] 球座標(Spherical Polar Coordinates)

3 次元ユークリッド空間 R³ に於ける極座標。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ,φ によってなる。rθφ 空間、極座標空間ともいう。特異点は (r,θ,φ) = (0,θ,φ),(r,nπ,φ) 即ち xyz空間に於ける z 軸上の全ての点である。球座標は、円座標から拡張することも出来る。xyz 空間上で、極座標で xy 平面上の点を表現した後、この点を +z 方向に φ だけ回転すれば、この方法で ||P|| = r を満たす xyz 上の点 P が表現できる。従って、これは球座標に等しい。球座標空間上で 2 個の偏角を限定しなければ、xyz 空間上で球を描く。

変換

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\cos\theta\cos\phi\\r\sin\theta\cos\phi\\r\sin\phi\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}r\\\theta\\\phi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta_{x, y}\\\phi_{x, y, z}\end{pmatrix}$

ただし、θ_{x, y} と φ_{x, z} はそれぞれ

$\phi_{x, y, z} = \arctan\left({z \over \sqrt{x^2+y^2}}\right) = \arctan\left({z \over \sqrt{r^2 - z^2}}\right)$

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\begin{pmatrix}\cos\theta_{x, y}\cos\phi_{x, y, z}\\\sin\theta_{x, y}\cos\phi_{x, y, z}\\\sin\phi_{x, y, z}\end{pmatrix}$

$0 \leq \theta_{x, y} < 2\pi, \quad -{\pi \over 2} \leq \phi_{x, y, z} \leq {\pi \over 2}$

なる実数

[編集] 積分への応用

極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標に於いては円の一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r×θ = [0,∞)×[0,2π) に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、

$\int^{\infin}_{-\infin}\int^{\infin}_{-\infin}f(x,y)dxdy = \int^{2\pi}_{0}\int^{\infin}_{0}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdrd\theta$