Spazio proiettivo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria, lo spazio proiettivo è lo spazio ottenuto da uno spazio euclideo (ad esempio, la retta o il piano) aggiungendo i "punti all'infinito". A seconda della dimensione, si parla quindi di retta proiettiva, piano proiettivo, ecc.

Lo spazio proiettivo è stato introdotto nel XVI secolo per modellizzare lo spazio visto dall'occhio umano, negli studi sulla prospettiva. Dal punto di vista geometrico, è uno spazio che presenta numerosi vantaggi rispetto a quello euclideo o affine: nello spazio proiettivo ci sono meno "casi particolari" da considerare (ad esempio, nel piano due rette si intersecano sempre), e molti concetti profondi vengono espressi in modo più sintetico ed elegante.

[modifica] Definizioni

[modifica] Punti all'infinito

Sia $\mathbb R^n$ lo spazio euclideo $n$ -dimensionale. Ad esempio, per $n = 2$ questo è semplicemente il piano cartesiano. Definiamo un "punto all'infinito" come la direzione indicata da una retta nello spazio. Quindi due rette parallele definiscono lo stesso punto all'infinito.

Lo spazio proiettivo $n$ -dimensionale è l'unione di $\mathbb R^n$ e di tutti i suoi "punti all'infinito".

A questo punto si possono estendere allo spazio proiettivo molti concetti geometrici usuali. Ne risulterà, ad esempio, che due rette si intersecano sempre: se sono parallele, lo faranno nel punto all'infinito che determinano.

[modifica] Rette passanti per l'origine

Lo spazio proiettivo è lo spazio visto da un occhio.

Una definizione come quella appena data ha però il difetto di trattare i punti all'infinito come "punti speciali", mentre la filosofia della geometria proiettiva è quella di non distinguere questi punti dagli altri in nessun modo. Per questo motivo si preferisce solitamente usare la definizione seguente.

Lo spazio proiettivo $n$ -dimensionale è definito come l'insieme delle rette in $\mathbb R^{n+1}$ passanti per l'origine.

Intuitivamente, è lo spazio che vede un occhio posizionato nell'origine. Questa definizione descrive chiaramente le relazioni con la prospettiva.

[modifica] Campo arbitrario

Le definizioni appena date possono essere estese al caso in cui lo spazio di partenza sia uno spazio vettoriale su un campo $K$ arbitrario, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi. Questa estensione è utile, perché molti teoremi di geometria proiettiva sono più potenti ed eleganti se il campo base è algebricamente chiuso come i complessi.

Lo spazio proiettivo $n$ -dimensionale su $K$ è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in $K n + 1$ . Cioè,

$\mathbb P^n(K) = (K^{n+1}\setminus\{0\})/_\sim$

dove $\sim\,\!$ è la relazione d'equivalenza che identifica due punti se e solo se stanno sulla stessa retta passante per l'origine, cioè se e solo se sono multipli:

$v \sim w \Longleftrightarrow v = kw$ per qualche $k \in K$ .

Ad esempio, $(1,2 - 3)$ e $( - 2, - 4,6)$ sono multipli e danno quindi luogo allo stesso punto.

Nel resto di questa voce supporremo lo spazio proiettivo definito in questo modo, dipendente da un campo $K$ .

[modifica] Sottospazi

[modifica] Definizione

Poiché uno spazio proiettivo è l'immagine di uno spazio vettoriale tramite la proiezione

$p : K^{n+1} \to \mathbb P^n(K)$

indotta dalla relazione di equivalenza, molte nozioni degli spazi vettoriali si trasferiscono senza problemi sullo spazio proiettivo.

Un sottospazio proiettivo di $\mathbb P^n(K)$ è definito come l'immagine di un sottospazio vettoriale di $K n + 1$ tramite $p$ .

Dati due sottospazi $S$ e $T$ , è possibile definire i sottospazi intersezione e somma in modo analogo, come immagini tramite $p$ dei sottospazi intersezione e somma in $K n + 1$ .

[modifica] Formula di Grassmann

Una delle proprietà basilari valide in uno spazio proiettivo, ereditata dagli spazi vettoriali, ma che non è valida in uno spazio affine, è la formula di Grassmann per i sottospazi. Dati due sottospazi $S$ e $T$ , vale cioè l'uguaglianza

$\dim (S+T) = \dim S + \dim T - \dim (S\cap T)$

dove si intende che il punto ha dimensione 0 (come sempre) e l'insieme vuoto ha dimensione $- 1$ .

[modifica] Rette parallele

Come conseguenza della formula di Grassmann, due rette nel piano si intersecano sempre. Infatti

$\dim (S\cap T) = \dim S + \dim T -\dim (S+T) = 1 + 1 - \dim(S+T) \geq 0$

poiché $S + T$ ha dimensione al più 2 (ogni sottospazio del piano ha dimensione al massimo 2, e 2 solo se è tutto il piano).

[modifica] Coordinate omogenee e carte affini

[modifica] Coordinate omogenee

Per approfondire, vedi la voce coordinate omogenee.

Ogni punto dello spazio proiettivo è una classe di equivalenza di punti in $K n + 1$ . Come è usuale in matematica, una classe di equivalenza viene descritta tra parentesi quadre: in questo modo,

$[(x_0,\ldots, x_n)]$

definisce la classe a cui appartiene il vettore $(x_0,\ldots, x_n)$ . Per brevità, tale classe si indica con

$[x_0, \ldots, x_n].$

Questa espressione fra parentesi quadre definisce le coordinate omogenee del punto. Due vettori di coordinate determinano la stessa classe (cioè lo stesso punto)

$[x_0, \ldots, x_n] = [y_0, \ldots, y_n]$

se e solo se sono uno multipli dell'altro, cioè se esiste un $k$ in $K$ tale che $y i = k x i$ per ogni $i$ .

[modifica] Punti impropri

Con le coordinate omogenee è possibile recuperare la definizione originaria di spazio proiettivo come spazio affine a cui si aggiungono dei punti. Basta definire $E$ come il sottoinsieme formato dai punti $[x_0, \ldots, x_n]$ tali che $x_0 \neq 0$ . Ogni punto in $E$ si scrive come

$[1, x_1,\ldots, x_n]$

in modo univoco, e quindi tramite la funzione

$[1,x_1,\ldots, x_n] \mapsto (x_1, \ldots, x_n)$

definiamo una corrispondenza biunivoca tra $E$ e lo spazio affine $K n$ . I punti dello spazio proiettivo che non sono in $E$ hanno in questo contesto il ruolo dei "punti all'infinito". Ciascuno di questi punti è del tipo

$[0, x_1, \ldots, x_n]$

e la funzione

$[0, x_1, \ldots, x_n] \mapsto [x_1 ,\ldots, x_n]$

definisce una corrispondenza biunivoca tra i punti all'infinito e lo spazio proiettivo $\mathbb P^{n-1}(K)$ di dimensione più piccola di uno. Quindi i "punti all'infinito" ad esempio del piano proiettivo formano una retta proiettiva, detta retta all'infinito o retta impropria. In dimensione arbitraria, si parla di iperpiano improprio.

[modifica] Carte e atlante

La stessa descrizione è fattibile per ogni $i = 0,\ldots, n$ definendo $E i$ come l'insieme dei punti la cui $i$ -esima coordinata è non nulla. Per ogni $i$ si ottiene quindi un differente iperpiano improprio, e una differente carta affine $E i$ .

Il nome "carta" deriva dalla proprietà seguente: l'unione degli $E i$ è tutto lo spazio, quindi le carte "ricoprono" tutto lo spazio proiettivo, mentre ciascuna di esse ne descrive solo una parte, proprio come le carte geografiche. L'insieme

$\{E_0,\ldots, E_n \}$

è detto atlante affine.

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../s/p/a/Spazio_proiettivo.html"

Categorie: Algebra lineare | Geometria proiettiva