Spazio localmente compatto

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In topologia e nelle branche della matematica ad essa connesse, uno spazio topologico è localmente compatto se localmente si comporta come uno spazio compatto, ossia, euristicamente parlando, se ogni suo piccolo sottoinsieme assomiglia ad un piccolo sottoinsieme di un compatto.

Quella di essere localmente compatto è una proprietà di regolarità di uno spazio topologico: gli spazi euclidei sono localmente compatti, mentre ad esempio gli spazi di Banach infinito dimensionali non lo sono. Dunque, almeno per spazi vettoriali topologici essere localmente compatto, in qualche senso, vuol dire comportarsi nell'intorno di un punto come uno spazio finito dimensionale.

In letteratura sono presenti diverse definizioni di spazio localmente compatto, tutte equivalenti nel caso in cui si trattino spazi di Hausdorff (che sono di gran lunga i più comuni utilizzati in matematica). In questa voce diamo prima delle nozioni generali, valide per spazi topologici arbitrari, tuttavia le principali applicazioni della teoria saranno date principalmente per spazi di Hausdorff.

[modifica] Definizione

Sia $(X,\mathcal{\Tau})$ uno spazio topologico. Esso si dice localmente compatto se ogni punto $x\in X$ ammette una base di intorni costituita di insiemi compatti. Ossia, se per ogni aperto $O \in \mathcal{\Tau}$ contenente un dato punto $x$ , esiste un compatto $K \subset O$ contenente a sua volta un aperto $O^\prime$ a cui appartiene $x$ : $x\in O \Rightarrow \exists K$ compatto tale che: $O\supset K \supset O^\prime \ni x$ , con $O^\prime$ aperto.

[modifica] Esempi

[modifica] Spazi compatti

Per approfondire, vedi la voce Spazio compatto.

Ogni spazio di Hausdorff compatto è localmente compatto. Se ne traggono diversi esempi di spazi localmente compatti:

L'intervallo (matematica) reale $[0,1]$ è (localmente) compatto.
Il cubo di Hilbert è localmente compatto.
L'insieme di Cantor è localmente compatto.
Le varietà topologiche chiuse sono localmente compatte

[modifica] Spazi localmente compatti ma non necessariamente compatti

Sottoinsiemi aperti o chiusi di uno spazio di Hausdorff localmente compatto sono localmente compatti nella topologia relativa.
Gli spazi euclidei, come ad esempio la retta reale, sono localmente compatti.
Le varietà topologiche, essendo localmente omeomorfe agli spazi euclidei, sono localmente compatte.
Il duale di uno spazio di Banach è localmente compatto, se equipaggiato con la topologia star-debole, per il teorema di Banach-Alaoglu.