Sezione aurea

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Nota disambigua - Se stai cercando l'applicazione di questo concetto in musica, vedi Sezione aurea (musica).

La sezione aurea (nota anche come rapporto aureo, numero aureo, costante di Fidia e proporzione divina), indicata abitualmente con la lettera greca Φ (phi), corrisponde al numero:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484\dots$

[modifica] Proprietà

Graficamente, la sezione aurea può essere rappresentata da un segmento diviso in due parti a e b, tali che il rapporto tra l'intero segmento a+b e la parte più lunga a sia uguale al rapporto tra la parte più lunga a e la parte più corta b:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}.$

Anche le due parti a e b così ottenute sono tra loro in rapporto aureo, così come la parte più piccola con la differenza tra le due parti:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}.$

Se indichiamo con Φ il valore del rapporto che soddisfa l'uguaglianza

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi,$

lo possiamo calcolare con il seguente procedimento.

Dall'equazione di destra ricaviamo che a = bΦ e, per sostituzione, il nostro sistema diventa

$\frac{b\phi+b}{b\phi} = \frac{b\phi}{b},$

da cui, eliminando b:

$\frac{\phi+1}{\phi} = \phi.$

Moltiplicando entrambi i membri per Φ otteniamo

φ + 1 = φ 2,

da cui l'equazione:

φ 2 - φ - 1 = 0,

che ha l'unica soluzione positiva

$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618\,033\,989.$

Φ è un numero irrazionale, ed è l'unico numero reale positivo per cui

$\phi^2 = \phi + 1\$

$\phi-1=\frac{1}{\phi}.$

La sezione aurea è legata alla sequenza di Fibonacci. Il rapporto tra due termini consecutivi ${F n + 1}$ , ${F n}$ di tale sequenza tende a Φ.

${\mathop \phi = {\lim_{n \to +\infty}} {{F_{n+1}} \over F_n}}$

Φ è inoltre l'unità fondamentale del campo numerico algebrico $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ ed è un numero di Pisot-Vijayaraghavan.

La sezione aurea ha interessanti proprietà se utilizzata come base di un sistema di numerazione.

[modifica] Derivazione da una frazione continua

Φ può essere espresso come frazione continua:

$\phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = [1;1,1,1,1, ...]$

$\phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}$

$\phi = 1 + \frac{1}{\phi}$

(φ)(φ - 1) = 1

(φ) 2 - φ - 1 = 0

$\phi = \frac{1+\sqrt{1^2 - (4 \times 1 \times -1)}}{2}$

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Si tratta della frazione continua più semplice, perché formata soltanto da unità, ma è anche quella che comporta l'approssimazione più lenta. Per questo Φ viene detto il numero "più irrazionale" o l'"ultimo numero irrazionale".

$\frac{A_{n-1}+1}{A_{n-1}}$

$A_n \approx \phi$

Più n è alto più $A n$ è simile a Φ.

[modifica] Derivazione da radici nidificate

$\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}$

$\phi = \sqrt{1 + \phi}$

e c c .

[modifica] Altre forme del numero Φ

Φ = 2cos(π/5)

Φ = e^arcsenh(1/2)

[modifica] La sezione aurea fino al 2139º decimale

 1.618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260
  4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317
  9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876
  6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887
  9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422
  1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906
  9704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600
  6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822
  8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263
  1165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113
  1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055
  5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312 1815628
  5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788
  9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605
  2317277 7520353 6139362 1076738 9376455 6060605 9216589 4667595 5190040 0555908
  9502295 3094231 2482355 2122124 1544400 6470340 5657347 9766397 2394949 9465845
  7887303 9623090 3750339 9385621 0242369 0251386 8041457 7995698 1224457 4717803
  4173126 4532204 1639723 2134044 4494873 0231541 7676893 7521030 6873788 0344170
  0939544 0962795 5898678 7232095 1242689 3557309 7045095 9568440 1755519 8819218
  0206405 2905518 9349475 9260073 4852282 1010881 9464454 4222318 8913192 9468962  
  2002301 4437702 6992300 7803085 2611807 5451928 8770502 1096842 4936271 3592518
  7607778 8466583 6150238 9134933 3312231 0533923 2136243 1926372 8910670 5033992
  8226526 3556209 0297986 4247275 9772565 5086154 8754357 4826471 8141451 2700060
  2389016 2077732 2449943 5308899 9095016 8032811 2194320 4819643 8767586 3314798
  5719113 9781539 7807476 1507722 1175082 6945863 9320456 5209896 9855567 8141069
  6837288 4058746 1033781 0544439 0943683 5835813 8113116 8993855 5769754 8414914
  4534150 9129540 7005019 4775486 1630754 2264172 9394680 3673198 0586183 3918328
  5991303 9607201 4455950 4497792 1207612 4785645 9161608 3705949 8786006 9701894 
  0988640 0764436 1709334 1727091 9143365 0137157 6601148 0381430 6262380 5143211
  7348151 0055901 3456101 1800790 5063814 2152709 3085880 9287570 3450507 8081454
  5881990 6336129 8279814 1174533 9273120 8092897 2792221 3298064 2946878 2427487
  4017450 5540677 8757083 2373109 7591511 7762978 4432847 4790817 6518097 7872684
  1611763 2503861 2112914 3683437 6702350 3711163 3072586 9883258 7103363 2223810
  9809012 1101989 9176841 4917512 3313401 5273384 3837234

[modifica] In geometria

	«La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l'altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d'oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello.»
	(Johannes Kepler)

[modifica] Costruzione della sezione aurea del segmento AB

Si consideri il segmento AB e si costruisca un segmento OB perpendicolare ad AB e lungo la metà; si consideri il segmento AO e su di esso un segmento OE di lunghezza pari a OB; su AB si prenda un segmento AC di lunghezza pari ad AE. Il segmento AC è il medio proporzionale fra AB e CB.

[modifica] Dimostrazione

Per il teorema delle tangenti e delle secanti AD:AB=AB:AE per costruzione AD=AE+ED , ED=AB ed AE=AC, perciò AD=AC+AB ; sostituendosi ha che AC+AB:AB=AB:AC quindi scomponendo AC+AB-AB:AB=AB-AC:AC AB-AC=CB AC:AB=CB:AC ; quindi invertendo AB:AC=AC:CB

[modifica] Costruzione del segmento AB a partire da AC, sua sezione aurea

Si consideri il quadrato ACDF e del lato AC si prenda il punto medio E; a partire da E sul prolungamento del segmento AC si consideri un segmento EB di lunghezza pari a ED. Il segmento AC è medio proporzionale fra AB e CB

[modifica] Dimostrazione

Il triangolo HDB è retto in D, perché HB è il diametro della circonferenza di centro E per il II teorema di Euclide DC è medio proporzionale fra HC e CB: HC:DC=DC:CB per costruzione HC=AB e DC=AC quindi sostituendo si ha: AB:AC=AC:CB

[modifica] Il rettangolo aureo

Il rettangolo aureo, i cui lati a e b sono in proporzione aurea, è illustrato più sotto:

   |.......... a..........|

   +-------------+--------+   -
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   |      B      |   A    |   b
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   +-------------+--------+   -

   |......b......|..a-b...|

Se da questo rettangolo eliminiamo il quadrato B di lato b, il restante rettangolo A è a sua volta un rettangolo aureo. Infatti il rapporto tra i suoi lati

$\frac {b} {a-b} = \frac {a} {b} = \phi.$

Iterando questo procedimento, si ottiene una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli. Tracciando un quarto di cerchio in ogni quadrato scartato, si ottiene una figura che assomiglia alla spirale logaritmica θ = (π/2log(φ)) * log r.

La spirale verde è il risultato della costruzione descritta sopra, la spirale rossa è la vera spirale logaritmica. È evidente la somiglianza tra le due (in alcuni tratti l'immagine può apparire come un'unica spirale gialla, ma in realtà si tratta di due spirali distinte).

La costante φ appare spesso in geometria, soprattutto nelle figure che richiamano la simmetria pentagonale. Per esempio, il rapporto tra il lato e la diagonale di un pentagono regolare è uguale a φ, e i vertici di un icosaedro regolare sono disposti su tre rettangoli aurei ortogonali.

[modifica] In natura e nell'arte

Il Partenone, mostrante i rettangoli aurei forse usati nel relativo disegno

La sezione aurea emerge in natura come risultato della dinamica di alcuni sistemi. È stato ritrovato, tra l'altro, nella struttura delle conchiglie, nella dimensione delle foglie, nella distribuzione dei rami negli alberi, nella disposizione dei semi di girasole, e nel corpo umano.

Per esempio, è possibile ottenere un girasole disegnando i punti della funzione $(\theta = {{2 \pi} \over {\phi}} i, r = \sqrt i), i = 1 .. N$

Nell'antichità, gli egizi e i greci conoscevano già questo numero. Lo avevano scoperto in natura, e lo utilizzarono nell'arte, in architettura e nella filosofia. I greci pensavano che il rapporto aureo rappresentasse la proporzione "ideale" tra parti del corpo come il viso e il torso, o tra gli arti e il corpo intero. La sezione aurea fu perciò usata come guida per riprodurre accuratamente il corpo umano nella pittura e nella scultura.

Vista la sua diffusione in natura, veniva considerato esteticamente piacevole e di buon auspicio, perciò veniva usato anche per le creazioni umane. Diversi dipinti sono stati composti secondo la sezione aurea; edifici, giardini e monumenti sono stati progettati con rettangoli aurei (per esempio il Partenone di Atene e la Grande Piramide a Giza).

Anche il pentagramma caro ai pitagorici contiene la sezione aurea.

La sezione aurea continua ad essere utilizzata, architetti come Le Corbusier o in Italia Terragni l'hanno usata nella progettazione di alcuni edifici razionalisti. Altre applicazioni si trovano nel design, e studi recenti mostrano che continua ancora a giocare un ruolo importante nella nostra percezione della bellezza.

La sezione aurea ha avuto anche applicazioni nella musica. In particolare, la struttura di diverse composizioni di Claude Debussy e Béla Bartók riflettono le proporzioni definite dalla sezione aurea e dai numeri di Fibonacci. Il pianista Roy Howat ha mostrato che brani di Debussy come Reflets dans l'eau, L'isle joyeuse e il poema sinfonico La mer sono costruiti attorno a diversi pattern geometrici basati sulle proporzioni auree.

[modifica] Curiosità

Il numero aureo è uno dei pochissimi numeri conosciuti il cui reciproco e quadrato mantengono le medesime cifre decimali:

$\phi \approx 1.61803398874989484\dots$

$\phi^{-1} \approx 0.61803398874989484\dots$

$\phi^{2} \approx 2.61803398874989484\dots$

[modifica] Bibliografia

Roy Howat, "Debussy in proportion: a musical analysis", Cambridge University Press 1983.
Mario Livio, "La sezione aurea. Storia di un mistero che dura da tremila anni", 2003, Rizzoli - ISBN 88-17-87201-6
Rocco Panzarino, "Dio Sezione Aurea Bellezza", Collana di Filosofia Sapientia 10, Fasano 2005, Schena editore
Cornelis Jacobus Snijders, "La sezione aurea : arte, natura, matematica, architettura e musica", Muzio, Padova 1985.

[modifica] Collegamenti esterni

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Indice

[modifica] Proprietà

[modifica] Derivazione da una frazione continua

[modifica] Derivazione da radici nidificate

[modifica] Altre forme del numero Φ

[modifica] La sezione aurea fino al 2139º decimale

[modifica] In geometria

[modifica] Costruzione della sezione aurea del segmento AB

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Costruzione del segmento AB a partire da AC, sua sezione aurea

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Il rettangolo aureo

[modifica] In natura e nell'arte

[modifica] Curiosità

[modifica] Bibliografia

[modifica] Collegamenti esterni

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