Det gylne snitt

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Fasaden av Santa Maria Novella i Firenze. Her har Alberti brukt det gylne snitt

Det gylne snitt vil si deling av en linje eller en flate i to deler slik at den minste delen forholder seg til den største som denne til hele linjen eller flaten.

Uttrykt med $\varphi$ (phi) tilsvarer dette et irrasjonelt tall med verdi

$\varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2}\approx\ 1,618\ 033\ 989$

Man kan finne det delingsforholdet igjen mange steder i naturen, og spesielt på menneskekroppen. Forholdet mellom lengden fra skulderen til fingertuppene og lengden fra albuen til fingertuppene, knokene på hånda og lengden på bena i forhold til lengden fra kneet til tærne er noen eksempler. Det er også et viktig visuelt virkemiddel innen kunsten. Det gylne snitt var kjent blant grekerne. Det ble mye brukt i renessansen særlig innen arkitektur.

[rediger] Matematikk

Konstruksjon av et gyldne snitt-rektangel:
1. Konstruer et likesidig kvadrat.
2. Tegn en linje fra midtpunktet på en av sidene til et motående hjørne.
3. Bruk denne linjen som radius for å tegne bue som definerer den lange dimensjonen til rektangelet.

Det gylne snitt bygger på en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det.

Matematisk kan dette uttrykkes slik: Hvis linjestykket AC er delt i et punkt B slik at

Bilde:Gsnitt.gif

sies B å dele AC i det gylne snitt

Av definisjonen:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

Den høyre ligningen viser at $a=b\varphi$ , som kan bli satt inn i den venstre halvdel, som da gir:

$\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,$

Stryke ut b og multiplisere begge sider med $\varphi$ og ordne ligningen leder til:

$\varphi^2 - \varphi - 1 \ = \ 0.$

Det kan enkelt verifiseres at den eneste positive løsningen til denne kvadratiske ligning er

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618\ 033\ 989.$

Det motsatte forhold er kjent som conjugate gyldne snitt og man bruker stor Phi for å angi dette ( $Φ$ ):

$\Phi = \frac{b}{a} = {1 \over \varphi} \approx 0,618\ 033\ 989.$

Alternativt kan $Φ$ uttrykkes som:

$\Phi = \varphi -1$

Dette illustrer den unike egenskapen (blant positive tall) med det gyldne snitt at:

$\frac{1}{\varphi} = \varphi-1$

De to løsningene er innbyrdes inverse og har de samme desimalene.

[rediger] Kunst

Menneskekroppens proposjoner

Parthenon vist med forskjellige gyldne snitt-rektangler som det hevdes ble brukt i designarbeidet.

Leonardo da Vinci (1452–1519) åpnet en av sine bøker med følgende utsagn: La ingen som ikke er matematiker lese mitt arbeid!. Denne spissformuleringen viser kunstnerens interesse for matematikkfaget. Ved siden av å interessere seg for geometri, studerte han menneskekroppen meget inngående. Han fant mange forhold på menneskekroppen som, ifølge ham selv, burde være lik det gylne snitt for at det skulle være en perfekt kropp. Da Vinci hevdet at forholdet mellom høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp bør være lik det gylne snitt. Det betyr at en person på 150 cm, skal ha en navlehøyde på ca 93 cm.

[rediger] Tidslinje

Tresnittet Divina Proportione av Luca Pacioli (1509) som beskriver hvordan det gyldne snitt kan beskrive forhold i menneskeansiktet.

Referanse ^[1]

Phidias (490–430 BC) laget Parthenon-statuen som innholder gyldne snitt-proporsjoner.
Platon (427–347 BC) i hans Timaios beskriver han fem mulige former nå kjent som platonske legemer (pyramide, kube, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder), hvor noen er relatert til det gyldne snitt.
Euclid (c. 365–265 BC), i hans første Elementen gir den første opptegnde definisjonen av det gyldne snitt som han kalte, transkribert til engelsk, «extreme and mean ratio» (gresk: ακροςκαιμεσοςλογος).^[2]

Fibonacci (1170–1250) oppdaget den nummeriske serien Fibonacci-tall navngitt etter ham, som har en sterk knytning til det gyldne snitt.
Luca Pacioli (1445–1517) definerer det gyldne snitt som «divine proportion» i hans Divina Proportione.
Johannes Kepler (1571–1630) beskriver det gyldne snitt som «precious jewel»: «Geometry has two great treasures: one is the Theorem of Pythagoras, and the other the division of a line into extreme and mean ratio; the first we may compare to a measure of gold, the second we may name a precious jewel.»
Charles Bonnet (1720–1793) poengterer at i spiralen phyllotaxis til planter som formes med og mot klokken ofte har fibonaccitallene som forholdstall.
Martin Ohm (1792–1872) tror man er den første som bruker ordet «golden ratio» for å beskrive dette forhold.
Edouard Lucas (1842–1891) gir den nummeriske sekvensen kjent som fibonacci-rekken (Fibonacci sequence) dagens navn.
Mark Barr (20. århundre) tilordner den første bokstaven i det greske navnet Phidias til det gyldne snitt.
Roger Penrose (født 1931) finner en symmetri som benytter det gyldne snitt i feltet aperiodic tiling noe som ledet til oppdagelsen av kvasikrystaller.

[rediger] Referanser

^ Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science, Hemenway, Priya, New York: Sterling, pp. 20–21. ISBN 1-4027-3522-7. (2005)
^ The Thirteen Books of Euclid's Elements, Book 6, Definition 30, Thomas L. Heath, New York: Dover Publication, side 267-268. ISBN 0-464-60089-0. (1956)

[rediger] Litteratur

Blatner, David: The joy of Pi. (http://www.joyofpi.com/)
Dalvang, Tone og Rohde, Vetle: Matematikk for alle. Landslaget for matematikk i skolen, Landås 1998.
Eibe, Thyra: Euklids Elementer. Oversat af Thyra Eibe. København, Gyldendal ; 1897-1917.
Høyrup, Jens: Sub-Scientific Mathematics. History of Science, vol 28, 1979.
Jama, Jama Musse: Ethnomathematics.(http://www.dm.unipi.it/~jama/ethno/)
Knott, Ron: Fibonacci Numbers and the Golden Section. (http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/)
Krause, M.: Multicultural mathematics material, NCTM 1983.
Levin, Eddy: The Golden Proportion. (http://www.goldenmeangauge.co.uk/)
Rossing, Nils Kr.: Den matematiske krydderhylle. Midt Nordisk Vitensenter, 1999.
Selvik, Bjørg K. (red): Matematiske sammenhenger: Geometri. Caspar forlag, 1999.
Stewart, Ian: Life's other secret - The new Mathematics of Living World. Penguin books, 1999.