Zlatý řez

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako zlatý řez (latinsky sectio aurea) se označuje poměr o hodnotě přibližně 1:1,618. V umění je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami. Zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, že poměr malé části k větší je stejný jako poměr větší části k celé úsečce. Hodnota tohoto poměru je rovna iracionálnímu číslu

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}61803\ 39887\ 49894\ 84820\ldots$

Zlatý obdélník

Již nejméně od renesance využívají zlatý řez umělci ve svých dílech, zejména ve formě tzv. zlatého obdélníku, ve kterém se zlatý řez vyskytuje jako poměr stran. Zlatý řez prý totiž působí esteticky příznivým dojmem. Poměr zlatého řezu lze také pozorovat v přírodě.

Značení $\varphi$ začal na počátku 20. století používat Mark Barr, přičemž jej zvolil na počest řeckého sochaře Feidia (cca 490–430 př. n. l.), který podle historiků ve svých dílech zlatý řez hojně využíval. Občas se používá také označení $τ$ z řeckého tome = řez.

Obsah

1 Matematika
- 1.1 Výpočet
- 1.2 Vlastnosti
2 Podívejte se také na
3 Externí odkazy

[editovat] Matematika

[editovat] Výpočet

Pokud části úsečky označíme jako $a$ a $b$ , musí platit

$\frac{b}{a}=\frac{a}{a+b}$ , přičemž $\varphi = \frac{a}{b}$ .

To znamená, že $a = b \varphi$ , což po dosazení do první rovnice dává

$\frac{b}{b \varphi}=\frac{b \varphi}{b \varphi + b}$ .

Úpravou této rovnice se získá kvadratická rovnice

$\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$ ,

jejímž kladným kořenem (záporný zde nemá smysl) je

$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

[editovat] Vlastnosti

Zlatý řez v pětiúhelníku

Zlatý řez má mnoho zajímavých vlastností, například se vyskytuje v pravidelném pětiúhelníku nebo je to limita poměru mezi dvěma následujícími členy Fibonacciho posloupnosti.

Obdélník, jehož poměr stran odpovídá zlatému řezu, lze rozdělit na čtverec a obdélník, jehož poměr stran opět odpovídá zlatému řezu.

Pokud vezmeme libovolné číslo $a 0 > 1$ , pak řady