Numero di Pisot-Vijayaraghavan

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In matematica, il numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) è un intero algebrico α che è reale e maggiore di 1, ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di 1 in valore assoluto.

Se ad esempio α è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato α′, ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in α da

con a and b entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato

In questo caso si hanno le due condizioni

che sono soddisfatte dal numero aureo φ. Abbiamo infatti

Nel caso i coniugati siano non maggiori di 1, e uno di essi abbia valore assoluto esattamente 1, il numero è detto numero di Salem.

Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantina. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni '20 per lavorare con Hardy. La stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.

I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza n-sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di φ: abbiamo φ²¹ = 24476.000409, e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.

Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni n la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico x e dei suoi coniugati è un numero interno. Se x è un numero di Pisot number, le potenze n-sime degli altri coniugati tendono a 0 per n che tende a infinito.

Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione x³ − x − 1: questo numero (approssimativamente 1.324718) è noto anche come numero d'argento.

Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo .

[modifica] Tabella dei numeri di Pisot

Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1.618, in ordine crescente.

	Valore	Radice di...
1	1.3247179572447460260	x3 − x − 1
2	1.3802775690976141157	x4 − x3 − 1
3	1.4432687912703731076	x5 − x4 − x3 + x2 − 1
4	1.4655712318767680267	x3 − x2 − 1
5	1.5015948035390873664	x6 − x5 − x4 + x2 − 1
6	1.5341577449142669154	x5 − x3 − x2 − x − 1
7	1.5452156497327552432	x7 − x6 − x5 + x2 − 1
8	1.5617520677202972947	x6 − 2x5 + x4 − x2 + x − 1
9	1.5701473121960543629	x5 − x4 − x2 − 1
10	1.5736789683935169887	x8 − x7 − x6 + x2 − 1
11	1.5900053739013639252	x7 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
12	1.5911843056671025063	x9 − x8 − x7 + x2 − 1
13	1.6013473337876367242	x7 − x6 − x4 − x2 − 1
14	1.6017558616969832557	x10 − x9 − x8 + x2 − 1
15	1.6079827279282011499	x9 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
16	1.6081283851873869594	x11 − x10 − x9 + x2 − 1
17	1.6119303965641198198	x9 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
18	1.6119834212464921559	x12 − x11 − x10 + x2 − 1
19	1.6143068232571485146	x11 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
20	1.6143264149391271041	x13 − x12 − x11 + x2 − 1
21	1.6157492027552106107	x11 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
22	1.6157565175408433755	x14 − x13 − x12 + x2 − 1
23	1.6166296843945727036	x13 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
24	1.6166324353879050082	x15 − x14 − x13 + x2 − 1
25	1.6171692963550925635	x13 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
26	1.6171703361720168476	x16 − x15 − x14 + x2 − 1
27	1.6175009054313240144	x15 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
28	1.6175012998129095573	x17 − x16 − x15 + x2 − 1
29	1.6177050699575566445	x15 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
30	1.6177052198884550971	x18 − x17 − x16 + x2 − 1
31	1.6178309287889738637	x17 − x15 − x14 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
32	1.6178309858778122988	x19 − x18 − x17 + x2 − 1
33	1.6179085817671650120	x17 − x16 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
34	1.6179086035278053858	x20 − x19 − x18 + x2 − 1
35	1.6179565199535642392	x19 − x17 − x16 − x15 − x14 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
36	1.6179565282539765702	x21 − x20 − x19 + x2 − 1
37	1.6179861253852491516	x19 − x18 − x16 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
38	1.6179861285528618287	x22 − x21 − x20 + x2 − 1

[modifica] Collegamenti esterni

• (EN) Pisot number, Encyclopedia of Mathematics [1]
• (EN) Pisot number, Mathworld [2]