Zlatý rez

Z Wikipédie

Zlatý rez, zlatý podiel alebo božský rez (lat. sectio divina) je iracionálne číslo s mnohými zaujímavými vlastnosťami. Geometrické tvary odvodené od tohto čísla sa v európskej kultúre považujú za esteticky veľmi príťažlivé a mnohé geometrické proporcie v prírode sú odvodené od tohto čísla.

Označuje sa gréckym písmenom φ a rovná sa približne 1,618034.

[úprava] Definícia

Číslo φ je odvodené od geometrickej úlohy rozdeliť (rozrezať) úsečku s dĺžkou x na dve časti a a b tak, aby pomer dĺžok a a b bol rovnaký, ako pomer dĺžky x a dĺžky väčšej časti a. Tento pomer sa označuje φ. Matematicky:

$\frac{a}{b} = \frac{x}{a}$ pre $a > b\,$

Keďže úsečka x sa skladá z častí a a b, môžeme dosadiť x = a + b a dostaneme:

$\frac{a}{b} = \frac{a + b}{a} = \varphi$

Takže pre jednotlivé dĺžky x, a, b platí:

$b\varphi = a$ (kratšia časť b krát φ rovná sa dlhšej časti a)

$a\varphi = a + b$ (dlhšia časť a krát φ rovná sa súčtu častí)

Keď prvý vzťah dosadíme do druhého za člen a, dostaneme:

$b\varphi\varphi = b\varphi + b$ respektíve $b\varphi^2 = b\varphi + b$

Z tohto vzťahu sa vykľuje kvadratická rovnica:

$b\varphi^2 - b\varphi - b = 0$

Po dosadení jednotkovej dĺžky menšej časti (b = 1) dostaneme:

$\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$

Riešením kvadratickej rovnice sú dva korene:

$\varphi_1 = {1 + \sqrt{5} \over 2} \approx\ 1,618033988\dots$ $\varphi_2 = {1 - \sqrt{5} \over 2} \approx\ -0,6180333988\dots$

[úprava] Matematické vlastnosti

Zaujímavý je aj vzťah koreňov rovnice, φ₁ a φ₂:

$\varphi_1 + \varphi_2 = 1$

$\varphi_1 = - \frac{1}{\varphi_2}$

Číslo φ₁ je tiež jediným pozitívnym číslom, ktoré vyhovuje rovnici:

$x^2 = x + 1\,$

[úprava] Desatinný rozvoj

Číslo φ rozvité na 1024 desatinných miest:

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
  2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
  8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
  7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
  0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
  1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
  8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
  2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
  3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
  1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
  1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
  7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
  8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
  8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
  7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
  1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
  3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
  9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
  7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
  9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
  1076738937 6455606060 5922...

[úprava] Pozri aj

Zlatý uhol
Zlatý obdĺžnik
Strieborný rez

Tento článok s matematickou témou je zatiaľ príliš krátky (tzv. "výhonok"). Môžeš pomôcť Wikipédii rozšíriť ho tak, že hore klikneš na záložku "úprava" (alebo alternatívne sem) a dopíšeš alebo zmeníš text.

Zdroj: "http://sk.wikipedia.org../../../z/l/a/Zlat%C3%BD_rez.html"

Kategórie: Matematické výhonky | Architektúra | Iracionálne čísla