Propagazione degli errori
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In statistica, la propagazione degli errori descrive la relazione tra l'errore associato ad una variabile casuale, e l'errore associato ad una funzione di essa. In genere, le variabili misurate in un esperimento hanno incertezze, dovute per esempio alla precisione degli strumenti, che si progagano sui risultati. Anche se in teoria sarebbe meglio considerare direttamente la distribuzione di probabilità; per una variabile statistica, nella pratica essa può essere difficile da determinare, e spesso è preferibile assumere che la variabile sia distribuita secondo la distribuzione normale (o Gaussiana), e chiamare errore la sua deviazione standard.
Se una variabile x ha associato un errore Δx (detto errore assoluto), si chiama errore relativo il rapporto Δx/x. Nel seguito si danno alcune formule per casi particolari.
| funzione | errore associato alla funzione |
|---|---|
| X = A ± B | (ΔX)² = (ΔA)² + (ΔB)² |
| X = cA | (ΔX) = c(ΔA) |
| X = c(A×B) or X = c(A/B) | (ΔX/X)² = (ΔA/A)² + (ΔB/B)² |
| X = c(A×B×C) or X = c(A/B)×C | (ΔX/X)² = (ΔA/A)² + (ΔB/B)² + (ΔC/C)² |
| X = cAn | (ΔX/X) = |n| (ΔA/A) |
| X = ln cA | ΔX = (ΔA/A) |
| X = exp A | (ΔX/X) = ΔA |
Data una generca quantità y=φ(x), con x=(x1,x2,...,xn) vettore dei parametri, la formula generale per la propagazione degli errori è:
![\sigma^2[y] = \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial \varphi(\hat{\mathbf{x}})}{\partial x_i}\frac{\partial \varphi(\hat{\mathbf{x}})}{\partial x_i}\mbox{cov}[x_i,x_j]](../../../math/2/d/8/2d8919d4186b1451a6cc2ccabf7bf368.png)
dove cov[xi,xj] è la covarianza relativa alle variabili xi,xj, mentre 
è la derivata parziale della funzione φ rispetto alla variable xi
