Funzione razionale

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Indice

1 Funzione razionale intera
2 Funzione razionale fratta
3 Asintoti
4 Voci correlate

[modifica] Funzione razionale intera

Sia $P(x)\;$ un polinomio in $x$ .

La funzione $f(x) = P(x)\;$ si dirà funzione razionale intera nella variabile x.

Es. La funzione $f(x)=x^3-3x^2-2x+7\;$ è una funzione razionale.

Ogni funzione razionale in una variabile è chiaramente definibile su tutto l'insieme dei numeri reali o su tutto l'insieme dei numeri complessi. Le funzioni razionali intere sono funzioni analitiche intere, cioè funzioni analitiche per ogni valore complesso dell'argomento.

In generale si dice funzione razionale intera nelle variabili x₁, x₂, ...x_n ogni funzione esprimibile come polinomio in queste variabili.

[modifica] Funzione razionale fratta

Siano $P(x)\;$ e $Q(x)\;$ due polinomi che conviene supporre privi di divisori comuni.

La funzione $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ si dirà funzione razionale fratta nella variabile x.

Una funzione razionale fratta in una variabile è definibile in un qualsiasi insieme di numeri reali o complessi che non contenga gli zeri del denominatore.

Es. La funzione $f(x)=\frac{2x}{x^2-1}$

può essere definita in un qualunque sottoinsieme di $\mathbb{R}$ o di $\mathbb{C}$ che non contenga i valori $+ 1$ e $- 1$ .

In generale si dice funzione razionale fratta nelle variabili x₁, x₂, ...x_n ogni funzione esprimibile come quoziente di due funzioni polinomiali nelle suddette variabili.

[modifica] Asintoti

Una funzione razionale fratta può avere asintoti.

Asintoti verticali: sono le rette $x=c_i\;$ , in cui $c_i\;$ rappresenta tutti quei valori della variabile indipendente che annullano il denominatore della frazione.

Asintoti orizzontali: sono presenti se e solo se il grado del polinomio al numeratore è uguale al grado del polinomio a denominatore. In tal caso l'asintoto orizzontale è la retta $y=k\;$ , in cui $k\;$ è uguale al rapporto tra il coefficiente del termine di grado massimo al numeratore e il coefficiente del termine di grado massimo del denominatore.

Ciò è intuibile dal fatto che il limite per $x\to \infty\;$ esiste finito (il che è condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza dell'asintoto orizzontale) se e solo se il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, e in particolare, il valore del limite è uguale al rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo.