Torseur cinématique

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Le torseur cinématique est, comme les torseurs statique, cinétique et dynamique, un outil mathématique utilisé couramment en mécanique classique.

Le torseur cinématique est utilisé pour décrire les comportements de translation et de rotation d'un solide indéformable, en général dans un repère orthonormé direct.

Sommaire

1 Définition
2 Le vecteur rotation
3 Le vecteur vitesse
4 Calcul du torseur en un autre point du solide
5 Informations diverses

[modifier] Définition

Le torseur cinématique d'un solide par rapport à un référentiel R quelconque est entièrement défini par deux vecteurs :

le premier, caractéristique du champ des vitesses et indépendant du point d'expression du torseur, décrit le comportement rotatif du solide.

$\vec \Omega (S/R)$

On doit lire Oméga de S (le solide étudié) par rapport à R.

le second, exprimé en un point P du repére correspond à la vitesse du point P appartenant au solide par rapport à R.

$\vec V (A \in S/R)$

On doit lire V en A (point appartenant au solide S dans R) de S par rapport à R.

Finalement l'ensemble s'écrit:

$\{\mathcal{V}(S/R) \}_{A/R} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (S/R) \\ \ \vec V (A \in S/R) \end{Bmatrix}_{A/R}$

On doit lire torseur V en A de S par rapport à R est égale à Oméga de S par rapport à R et V en A de S par rapport à R.

Le champ des vitesses d'un solide indéformable est représentable par un torseur en raison du caractère équiprojectif de ce champ, caractère qui est intimement lié à l'indéformabilité du solide.

[modifier] Le vecteur rotation

Le vecteur rotation $\vec \Omega (S/R)$ possède dans un repère tridimensionnel {R,x,y,z} trois composantes notées $ω x$ , $ω y$ , $ω z$ .

Le vecteur rotation s'écrit alors $\vec \Omega (S/R) = \omega _x \vec x + \omega _y \vec y + \omega _z \vec z$ avec $\vec x$ , $\vec y$ , $\vec z$ vecteurs formant le repère orthonormé R.

Le vecteur rotation peut également être noté $\vec \Omega (S/R) = \begin{Bmatrix} \ \omega _x \\ \omega _y \\ \omega _z \\ \end{Bmatrix}_{/R}$

Dans le cas ou le vecteur rotation est nul le mouvement du solide est une translation simple.

[modifier] Le vecteur vitesse

Le vecteur vitesse $\vec V (A \in S/R)$ possède dans un repère tridimensionnel {R,x,y,z} trois composantes notées $ν x$ , $ν y$ , $ν z$ .

Le vecteur vitesse s'écrit alors $\vec V (A \in S/R) = \nu_x \vec x + \nu_y \vec y + \nu_z \vec z$ avec $\vec x$ , $\vec y$ , $\vec z$ vecteurs formant le repère orthonormé R.

Le vecteur vitesse peut également être noté $\vec V (A \in S/R) = \begin{Bmatrix} \ \nu_x \\ \nu_y \\ \nu_z \\ \end{Bmatrix}_{A \in S/R}$

Dans le cas ou le vecteur translation est nul le mouvement du point considéré est une rotation simple. Le point est alors appélé Centre Instantané de Rotation (CIR).

[modifier] Calcul du torseur en un autre point du solide

Connaissant le torseur cinématique complet en un point A du repère R et connaissant la distance entre le point A et un point B, on peut calculer le torseur complet au point B.

on note le torseur au point A $\{\mathcal{V}(S/R) \}_{A/R} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (S/R) \\ \ \vec V (A \in S/R) \end{Bmatrix}_{A/R}$

on note la distance entre BA $\vec {BA} = \begin{Bmatrix} \ X_{ba} \\ \ Y_{ba} \\ \ Z_{ba} \end{Bmatrix}$

le vecteur rotation est identique en chaque point du repère, il reste simplement à calculer le vecteur translation.

$\vec V _B = \vec V _A + \vec {BA} \wedge \vec \Omega$

Il est bien entendu que $\vec V _A$ , $\vec V _B$ et $\vec \Omega$ appartiennent à S et sont tous repèrés comme $\vec {BA}$ dans R.

Finalement $\{\mathcal{V}(S/R) \}_{B/R} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (S/R) \\ \ \vec V (B \in S/R) \end{Bmatrix}_{B/R} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (S/R) \\ \ \vec V (A \in S/R) + \vec {BA} \wedge \vec \Omega (S/R) \end{Bmatrix}_{B/R}$

[modifier] Informations diverses

Les vitesses de translations sont normalement exprimées en mètres par secondes (m/s). Les vitesses de rotations sont normalement exprimées en radians par secondes (rad/s).

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Catégories : Algèbre linéaire • Mécanique • Mécanique du solide