Théorèmes énergétiques

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Sommaire

1 Théorème de l'énergie potentielle
2 Théorème de l'énergie complémentaire
3 Démonstrations
- 3.1 A partir de l'erreur en relation de comportement
- 3.2 A partir du principe des puissances virtuelles

[modifier] Théorème de l'énergie potentielle

Le champ de déplacement solution d'un problème statique de mécanique des milieux continus minimise l'énergie potentielle du milieu.

[modifier] Théorème de l'énergie complémentaire

Le champ de déplacmement solution d'un problème statique de mécanique des milieux continus minimise l'énergie complémentaire du milieux

[modifier] Démonstrations

[modifier] A partir de l'erreur en relation de comportement

[modifier] Etablissement de l'expression de l'énergie potentielle et de l'énergie complémentaire

Soit $e$ l'erreur en relation de comportement. Partons de l'expression de $e 2$ . On a :

$e^2\left(\underline{u},\underline{\underline{\sigma}}\right) = \frac{1}{2} \int_\Omega {Tr}\left[\left(\underline{\underline{\sigma}} - \underline{\underline{\underline{\underline{K}}}}\cdot \underline{\underline{\varepsilon(u)}}\right) \cdot\underline{\underline{\underline{\underline{K}}}}^{-1} \cdot\left(\underline{\underline{\sigma}}- \underline{\underline{\underline{\underline{K}}}} \cdot\underline{\underline{\varepsilon(u)}}\right)\right] d\Omega$

$=\frac{1}{2}\left[ \int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\sigma}}\cdot\underline{\underline{\underline{\underline{K}}}}^{-1} \cdot\underline{\underline{\sigma}}\right)d\Omega + \int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\underline{\underline{K}}}}\cdot\underline{\underline{\varepsilon}} \cdot\underline{\underline{\varepsilon}}\right) d\Omega - 2 \int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\sigma}}\cdot\underline{\underline{\varepsilon}}\right)d\Omega \right]$

On applique alors la formule de Green :

$\int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\sigma}} \cdot\underline{\underline{\varepsilon}} \right)d\Omega =\int_{\partial\Omega} \left(\underline{\underline{\sigma}}\cdot\underline{n}\right)\cdot\underline{u}\, dS -\int_\Omega \underline{div} \left(\underline{\underline{\sigma}}\right)\cdot\underline{u}\, d\Omega$

Si le problème est bien posé on peut séparer l'intégrale sur le bord de $Ω$ en deux intégrales : une sur $\partial_1\Omega$ , partie de $\partial\Omega$ sur laquelle on a imposé le déplacement et une sur $\partial_2\Omega$ , partie de $\partial\Omega$ sur laquelle on a imposé l'effort.On rappelle que dans ce cas on a :

$\partial\Omega=\partial_1\Omega\cup\partial_2\Omega$ et $\partial_1\Omega\cap\partial_2\Omega=\empty$

On obtient donc, en utilisant les équations d'équilibre et les conditions aux limites :

$\int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\sigma}} \cdot\underline{\underline{\varepsilon}} \right)d\Omega =\int_{\partial_1\Omega} \left(\underline{\underline{\sigma}}\cdot\underline{n}\right)\cdot\underline{u_d}\, dS +\int_{\partial_2\Omega} \underline{F_d}\cdot\underline{u}\, dS +\int_\Omega \underline{f_d}\cdot\underline{u}\,d\Omega$

Soit

$e^2\left(\underline{u},\underline{\underline{\sigma}}\right) = Ep(\underline{u}) + Ec(\underline{\underline{\sigma}})$

Avec :

$Ep(\underline{u})=\frac{1}{2} \int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\underline{\underline{K}}}}\cdot\underline{\underline{\varepsilon}} ^2\right) d\Omega - \left(\int_\Omega \underline{f_d}\cdot\underline{u}\,d\Omega + \int_{\partial_2\Omega} \underline{F_d}\cdot\underline{u}\, dS\right)$
$Ec(\underline{\underline{\sigma}})= \frac{1}{2} \int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\sigma}}\cdot\underline{\underline{\underline{\underline{K}}}}^{-1} \cdot\underline{\underline{\sigma}}\right)d\Omega - \int_{\partial_1\Omega} \left(\underline{\underline{\sigma}}\cdot\underline{n}\right)\cdot\underline{u_d}\, dS$

[modifier] Etude des différents termes de ces expressions

[modifier] Energie potentielle

$\frac{1}{2} \int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\underline{\underline{K}}}}\cdot\underline{\underline{\varepsilon}} ^2\right) d\Omega$ est l'énergie de déformation exprimée en déplacement. C'est l'analogue de l'énergie de déformation élastique d'un ressort $\frac{1}{2} k (l-l_0)^2$ . C'est une forme bilinéaire symétrique continue et coercive.

$\left(\int_\Omega \underline{f_d}\cdot\underline{u}\,d\Omega + \int_{\partial_2\Omega} \underline{F_d}\cdot\underline{u}\, dS\right)$ est le travail des efforts imposés (donc connues) dans le champ de déplacement inconnu. C'est une forme linéaire continue.

[modifier] Energie complémentaire

$\frac{1}{2} \int_\Omega {Tr}\left(\underline{\underline{\sigma}}\cdot\underline{\underline{\underline{\underline{K}}}}^{-1} \cdot\underline{\underline{\sigma}}\right)d\Omega$ est l'énergie de déformation exprimée en contrainte, c'est l'analogue de l'énergie de déformation élastique d'un ressort exprimée en fonction de la force $\frac{1}{2}\frac{F^2}{k}$ .

C'est une forme bilinéaire symétrique continue et coercive.

$\int_{\partial_1\Omega} \left(\underline{\underline{\sigma}}\cdot\underline{n}\right)\cdot\underline{u_d}\, dS$

est le travail des efforts inconnus dans le champ de déplacement imposé (donc connu) Ep(u) ne dépendant que de u et des forces imposées. C'est une forme linéaire continue.

[modifier] Démonstration des théorèmes énergétiques

Nous savons que la solution exacte est telle que

$e^2(\underline{u},\underline{\underline{\sigma}})=0$ , donc elle réalise un minimum de cette fonction. De plus comme $e^2\left(\underline{u},\underline{\underline{\sigma}}\right)$ est la somme de deux fonctions de variables indépendantes, le couple $(\underline{u},\underline{\underline{\sigma}})$ est tel que $\underline{u}$ réalise le minimum de $Ep(\underline{u})$ et $\underline{\underline{\sigma}}$ réalise le minimum de $Ec(\underline{\underline{\sigma}})$ .

De plus nous sommes dans les hypothèses d'application du théorème de Stampacchia qui garantit l'existence et l'unicité des solutions de chacun de ces problèmes de minimisation.

De plus le déplacement et la contrainte étant liés par la relation de comportement, on peut choisir de minimiser l'une ou l'autre de ces énergies pour obtenir le couple solution.