Théorème ergodique

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Dans les systèmes dynamiques, et en particulier en théorie ergodique, de nombreux théorèmes sont appelés théorèmes ergodiques. Ils permettent de quantifier au sens de la théorie de la mesure la densité des orbites d'un système dynamique mesuré.

[modifier] Théorème ergodique de Birkhoff

Soient μ une mesure sur un espace mesurable X, et f:XX une application mesurable qui préserve la mesure μ. Pour une fonction réelle μ-intégrable g:XR, la suite des moyennes S_ng de f, donnée explicitement par :

converge presque sûrement vers une application (mesurable) f-invariante h ; cette limite presque sure est μ-intégrable, et

.

• Lorsque la mesure μ est finie, la suite S_ng converge vers h dans l'espace L¹.
• Lorsque μ est une mesure de probabilité et que f est une transformation ergodique, on a pour / mu-presque tout x :

f(x) =	∫	g.dμ
	X

.

[modifier] Théorème ergodique de Von Neumann