Théorème de la bijection

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Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors la fonction $f$ réalise une bijection de l'intervalle $I$ sur l'intervalle $J=f(I)=\{f(x)/x\in I\}$ .

Autrement dit l'application

$\begin{matrix}g:&I&\rightarrow &f(I)\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}$

est bijective.

[modifier] Remarques

Ce théorème permet de bâtir une large famille de fonctions élémentaires essentielles à l'élaboration de la branche des mathématiques appelée analyse.

Les fonctions définies de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$ qui à $x\,$ associe $\sqrt[n]{x}\,$ sont les fonctions réciproques des fonctions définies de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$ qui à $x\,$ associe $x^n\,$ .
les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques classiques comme : $\operatorname{Arcsin}\, \operatorname{Arccos}\, \operatorname{Arctan}\,$ sont aussi définies grace à ce théorème.

Ce théorème n'est pas vrai sur les nombre rationnels, ce qui a empêché une construction rigoureuse de l'analyse jusqu'au XIX^e siècle. Pour une approche rigoureuse, il a fallu attendre les travaux de Dedekind et de Cauchy qui ont fourni une construction des nombres réels.

[modifier] Utilisation pratique

Remarquons que l'application $f$ donnée n'est pas forcément bijective. Dans la pratique, pour appliquer ce théorème, nous devons

vérifier que $f$ est continue sur $I$ ,
vérifier que $f$ est strictement monotone,
déterminer l'intervalle $f (I)$ qui est de même type que l'intervalle $I$ (ouvert, fermé ou semi-ouvert), dont les bornes sont les limites de $f$ aux bornes de $I$ , ou les valeurs que prend $f$ aux bornes.

[modifier] Conséquence

Formulations équivalentes à cette conséquence du théorème :
- pour tout élément $k$ de $f (I)$ , il existe un unique $c$ de $I$ tel que $f (c) = k$
- pour tout élément $k$ de $f (I)$ , l'équation $f (x) = k$ d'inconnue x admet une unique solution dans $I$ .

[modifier] Démonstration

Soit deux éléments de $I\,$ distincts, supposons que le premier soit strictement plus petit que le second, alors l'image du premier est strictement plus petite que l'image du second. Et tout élément de $J = f(I)\,$ possède un unique antécédent par $f\,$ dans $I\,$ .