Théorème de Newton-Hamilton
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Vous avez de Le théorème de Newton-Hamilton est un théorème de dynamique des champs à force centrale, de trajectoire une conique. La présentation sera ici faite avec une ellipse.
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[modifier] Énoncé
Soit une trajectoire (T) elliptique, décrite sous l'action d'une force centrale issue d'un point O ( évidemment intérieur à l'ellipse). Soit (D) la polaire de O par rapport à l'ellipse ; et PH la distance du point matériel courant P à la polaire (D).
La force centrale est F ~ r/(PH)³.
[modifier] Applications
- La plus connue est celle de la Proposition 11 des Principia. Le théorème de Hamilton n'en est que la généralisation exprimée en géométrie des polaires. Choix de O : le soleil S situé au foyer de l'ellipse.
Sa polaire est la directrice (D), et donc PH³ = e³.r³ . On en tire la force F~ 1/r².
- Une autre application est la position dégénérée du centre de l'ellipse. Il faut alors être prudent , afin de montrer que PH³ doit être considéré comme constant : on retrouve l'ellipse de Hooke.
- Soit un cercle de diamètre "vertical" OA = 2R. La polaire de O est l'axe "horizontal" x'Ox . On retrouve la Proposition 7 des Principia : le point courant est attiré par F ~ 1/r^5.
[modifier] Démonstration
Dans une conique ( courbe du second ordre) f(x,y) = a x² + 2c xy +b y² + 2dx +2ey +f = 0 , la droite polaire (D) de l'origine O , est dx + ey +f =0.
Et PH ~ dx +ey +f , P se trouvant sur la conique.
L'accélération de Siacci donne F ~ C²r/p³R et la formule de Frenet R ~ (V/\A)^3 conduit à p³R ~ (dx+ey+f)^3
On en déduit : F ~ C² r / (dx+ey+f)^3 ~ C²r/(PH)^3.
