Symétrie de Corinne

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[modifier] Définition et exemple

En mécanique , changer le temps t réel en temps i.t imaginaire pur, revient en changer la force $\vec{F}$ en $-\vec{F}$ , dans la loi de Newton (relation fondamentale de la dynamique) ^[1] $m\frac{\vec{d^{2}r}}{dt^{2}}=\vec{F}$ , passant ainsi par exemple d'une force attractive à une force répulsive et vice versa.

Démonstration: la transformation envisagée correspond au changement de variable t—> s=it dans la relation fondamentale de la dynamique. En utlisant la dérivée d'une fonction composée, il vient: $\frac{\vec{dr}}{dt}=\frac{\vec{dr}}{ds}\frac{ds}{dt}=i\frac{\vec{dr}}{ds}$ , par suite en répétant: $\frac{\vec{d^{2}r}}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\left (\frac{\vec{dr}}{dt}\right )=i\frac{d}{ds}\left (\frac{\vec{dr}}{ds}\right )\frac{ds}{dt}=-\frac{\vec{d^{2}r}}{ds^{2}}$ , d'où le résultat.

[modifier] Aspects historique

Qui le premier a osé parler de temps imaginaire pur en gravité?

Il existe des articles du début du XVIIIe , qui reprenant les expressions analytiques des trajectoires des planètes, et utilisant les travaux de de Moivre(1667-1754), reconnaissent le passage des cos(t) à des cosh(t),etc. et donc de l'ellipse attractive à l'hyperbole répulsive. Ces travaux sont sans doute antérieurs à ceux de Corinne (collaborateur de Clairaut?). Cette symétrie est signalée par Appell ( traité de mécanique) et par Whittaker ( mechanics).

L'idée en tout cas est toute simple :

si $\ddot{z} = g$ ,

en posant t' = i t et en changeant g en - g , on retrouve la même équation.

Et de fait, z = 1/2 g t^2 = -1/2 g (it)^2 par symétrie de Corinne.

[modifier] Utilisations

On la voit utiliser dans des situations diverses :

par Appell pour les fonctions de Jacobi et le pendule pesant
plus généralement pour comparer le mouvement dans un puits de potentiel à son symétrique, la barrière de potentiel
en particulier en mécanique quantique , le passage à travers une barrière finie carrée utilise la formule de l'interféromètre de Fabry-Pérot par prolongation analytique : de la formule en 1/ [1+F.sin $φ$ ] on passe naturellement à 1/[1+ F.sh $φ$ ] ,
les calculs WKB et la fonction d'Airy ont aussi une symétrie de Corinne

bien sûr la formule aprochée de la transmission tunnel: T = tt* = exp -[ 2 $π$ n(E)], où Wick utilise la symétrie de Corinne pour retrouver la formule de Gamow approchée.

En architecture , Antoni Gaudi va ,à Barcelone, utiliser systématiquement la symétrie de Corinne , sans la connaître : la symétrique dans un miroir horizontal d'une chainette est évidemment la chainette renversée : celle-ci réalise la voûte optimale qui NE NÉCESSITE AUCUN ARC-BOUTANT. D'où l'aspect fascinant de la Sagrada Fami’lia ou des combles de la Pedrera.

[modifier] Notes

↑ Pour un point matériel soumis une seule force.

[modifier] Voir

chute avec résistance de l'air: temps de descente et temps de montée sont liés par cette symétrie
puits de potentielet barrière de potentiel: les mouvements s'y correspondent par cette symétrie
pendule cycloïdal: les calculs se font jusqu'au bout pour un ovale formé de 2 cycloïdes opposées.
pendule simple: Appell a fait remarquer que les relations entre sn(t) et sn( it) étaient des symétries de Corinne. Évidemment en aucun cas, cela ne démontre la double périodicité de sn(z), avec z variable complexe, car ici on se contente d'une transformation de fonction de variable réelle ( i.t est imaginaire pur).
Antoni Gaudi