Série de Riemann

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Pour $α$ complexe, on appelle série de Riemann la série suivante :

$\sum{1 \over n^\alpha},\;n\ge 1$ .

La série harmonique en est un cas particulier, pour $α = 1$ :

$\sum{1 \over n},\;n\ge 1 = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$

[modifier] Proposition

Une série de Riemann converge absolument si, et seulement si $\Re e \ (\alpha) > 1$ .

Une série de Riemann converge si, et seulement si $\Re e \ (\alpha) > 1$ (même condition que précédemment).

Dans les deux cas, la démonstration peut se faire par application de la méthode de comparaison série-intégrale.

[modifier] Remarques

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout $α$ entier pair (supérieur ou égal à 2). Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour $p$ entier naturel non nul :

$\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2\,p}}=r\,\pi^{2\,p}$ , où

r

est un rationnel.

Ainsi par exemple $\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}, \quad \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{4}} = \frac{\pi^4}{90}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{6}} = \frac{\pi^6}{945},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{8}} = \frac{\pi^8}{9450}, \quad ...$

En revanche on ne sait rien du tout concernant les autres valeurs prises selon $α$ hormis que pour $α = 3$ , la somme est irrationnelle (démontré par Apéry en 1979).