Racine carrée (mathématiques élémentaires)

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Mathématiques élémentaires

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Utilisation de ces propriétés pour simplifier des racines carrées
4 Les racines carrées des nombres négatifs dans
5 Voir aussi

[modifier] Définition

On appelle racine carrée d'un nombre réel positif a le nombre réel positif x tel que $x^2=a\,$ . On note : $x=\sqrt{a}\,$ .
Exemple: la racine carrée de 144 est 12 car $12^2=12\times12=144\,$ .

[modifier] Propriétés

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\,$
$\sqrt{\frac{a} {b}}=\frac{\sqrt{a}} {\sqrt{b}}\,$
$\sqrt{a^2}=|a|$
$\sqrt{a}^2=a$

Attention !!! $\sqrt{a\pm b}\ne \sqrt{a}\pm \sqrt{b}\,$ .Observer par exemple $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7\ne\sqrt{25}=5\,$ .

[modifier] Utilisation de ces propriétés pour simplifier des racines carrées

Note:Dans ces exemples,nous utiliserons à chaque fois la troisième propriété

Exemple d'utilisation de la première propriété : Simplification de $\sqrt{72}\,$ .

$72=36\times2\,$ donc :
$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}\,$ .
Or $36=6^2\,$ .
Donc $\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6\,$ .
En remplaçant $\sqrt{36}\,$ par 6, on obtient :
$\sqrt{72}=6\sqrt{2}\,$ .

Exemple d'utilisation de la deuxième propriété : Simplification de $\sqrt{0,36}\,$ .

$0,36=\frac{36} {100}\,$ donc:
$\sqrt{0,36}=\sqrt{\frac{36} {100}}=\frac{\sqrt{36}} {\sqrt{100}}\,$ .
Or $36=6^2\,$ et $100=10^2\,$ .
Donc $\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6\,$ et $\sqrt{100}=\sqrt{10^2}=10\,$ .
On obtient finalement : $\sqrt{0,36}=\frac{6} {10}\,$ .

[modifier] Les racines carrées des nombres négatifs dans $\mathbb{C}$

L'ensemble $\mathbb{C}$ est défini grâce au nombre i tel que $i 2 = - 1$ .
Donc la racine carrée d'un nombre négatif $x$ s'écrit : $\sqrt{x}=\sqrt{-1\times -x}=i\sqrt{-x}$ (la notation $\sqrt{-x}$ est acceptable car $- x > 0$ mais la notation $\sqrt{-1}$ est abusive car la notation da racine carrée est réservée aux nombres positifs)