Règle de Cramer

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

Pour les articles homonymes, voir Cramer.

La règle de Cramer est un théorème en algèbre linéaire qui donne la solution d'un système d'équations linéaires en termes de déterminants.

En calcul, elle est généralement inefficace et donc n'est pas utilisée en applications pratiques qui pourraient impliquer plusieurs équations (utilisation de la méthode de résolution de Gauss). Cependant, elle est d'importance théorique pour la raison qu'elle donne une expression explicite pour la solution du système.

Elle est nommée d'après Gabriel Cramer, mathématicien suisse (1704-1752).

Sommaire

1 Description
2 Exemples
- 2.1 Système d'ordre 2
- 2.2 Système d'ordre 3

[modifier] Description

Le système de n équations à n inconnues, de forme générale :

$\left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n = \lambda_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n = \lambda_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+...+a_{n,n}x_n = \lambda_n \end{matrix}\right.$

est représenté sous la forme d'un produit matriciel :

$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \vdots\\ \lambda_n\\ \end{bmatrix} \Leftrightarrow A \cdot \vec x = \vec \lambda$

où la matrice A, carrée et inversible (déterminant non nul), contient les coefficients des inconnues, le vecteur colonne x contient ces inconnues et le vecteur colonne $λ$ contient les membres de droite des équations du système.

Le théorème affirme alors que:

$x_k = { \det(A_k) \over \det(A) }$

où $A k$ est la matrice carrée formée en remplaçant la k^ème colonne de $A$ par le vecteur colonne $\vec \lambda$ .

$A_k = ( a_{k|i,j} ) \mbox{ avec } a_{k|i,j} = \left\{\begin{matrix} a_{i,j} & \mbox{si } j \ne k \\ \lambda_{i,1} & \mbox{si }j = k\end{matrix}\right.$

Par extension, un système de Cramer est un système qui répond à la condition que le déterminant de la matrice A soit non nul.

Le système admet une infinité de solutions si tous les déterminants des matrices du système sont nuls.
Le système n'admet aucune solution si le déterminant de A est nul et qu'au moins un déterminant d'une matrice $A k$ est non nul.

[modifier] Exemples

[modifier] Système d'ordre 2

Soit :

$\left\{\begin{matrix} ax+by = e\\ cx+dy = f\end{matrix}\right.$

alors :

$x = { \begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc}$ et $y = { \begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} } = { af - ec \over ad - bc}$