Produit infini de Cantor
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous avez de  |
Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
[modifier] Construction du produit
Soit x0 un nombre réel strictement plus grand que 1. On définit les nombres suivants :
![a_0 = \left[ \frac{x_0}{x_0 - 1} \right ]](../../../math/0/5/5/055d1c4f6c05a33a808ffdf4b21dcbec.png)
, 
.
De ce fait, 
. Donc, on a x1 > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :
![a_n = \left[ \frac{x_n}{x_n - 1} \right ]](../../../math/a/c/c/accde9e3df48b7961fa8ad1be2686291.png)
, 
.
Ainsi, on a le théorème suivant : 
, on peut écrire de manière unique:
.
[modifier] Propriétés
- Soit x0 > 1. Alors x0 est un nombre rationnel si, et seulement si,
tel que la suite 
de son développement en série de Cantor vérifie 
pour 
.
[modifier] Exemples
, avec a0 = 2 et 
,
, avec a0 = 3 et .
D'après les propriétés précédentes, on voit donc que 
et 
sont des nombres irrationnels (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer).
L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.
|
Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques. |
