Problème de Napoléon

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En géométrie plane, le problème de Napoléon consiste à construire au compas seul le centre d'un cercle donné. Sans nier que Napoléon I^er ait quelques qualités de mathématicien, on pense qu'il avait surtout des amis ou courtisans chez les savants de l'époque. Lorenzo Mascheroni, auteur d'une Géométrie du compas célèbre en son temps s'est, à la même époque, intéressé aux constructions au compas seul.

[modifier] Construction

Soit le cercle C dont on veut déterminer le centre. Soit un point A de C.

Un cercle C1 centré en A rencontre C en B et B'.

Deux cercles C2 centrés en B et B' et passant par A se rencontrent au point C.

Un cercle C3 centré sur C et passant par A rencontre C1 en D et D'

Deux cercles C4 centrés en D et D' et passant par A se rencontrent au centre de C.

Remarque: il est nécessaire, pour que la construction soit réalisable, de prendre pour le rayon du cercle C1, une quantité ni trop grande, ni trop petite. Plus précisément, il faut que ce rayon soit compris entre la moitié et le double du rayon du cercle C

[modifier] Démonstration

Le principe de la démonstration est la possibilité de construire au compas seul la longueur b²/a si les longueurs a et b sont connues.

La démonstration s'appuie sur les propriétés du triangle rectangle. Dans la figure ci-jointe, le triangle ABA' est rectangle en B et H est le pied de la hauteur issue de B, on peut donc écrire l'égalité suivante :

AH × AA' = AB²

Donc $AH = \frac{b^2}{2a}$ et $AC = \frac{b^2}{a}$

Dans la construction précédente, on retrouve deux fois une configuration de ce type :

les points A, B et B' sont sur le cercle de centre O et de rayon r, les distances AB, AB', BC et B'C valent R donc $AC = \frac{R^2}{r}$
les points A, D et D' sont sur le cercle de centre C et rayon $\frac{R^2}{r}$ , les distances DA, D'A, DX, D'X valent R donc $AX = \frac{R^2}{R^2/r}= r$ .