Poutre (élément de structure)

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[modifier] Introduction

Dans son expression la plus simple, c'est un élément linéaire de longueur $L$ , de section droite $A$ portant de $a$ à $b$ , sur deux appuis A et B, soumis à une force $F i$ et à des charges distribuées $q j$ .

Fig. 1 illustre une poutre simple sur deux appuis soumise à une force $F$ orthogonale à la poutre.

Fig. 1: Poutre soumise à une force $F i$ et à des charges distribuées $q j$

[modifier] Effort intérieurs

Si on coupe la poutre représentée en Fig. 1 à un endroit $x$ , il est nécessaire d'introduire:

La force $N$ : force normale ou effort axial,
La force $V$ : force de cisaillement ou effort rasant, tranchant et
Le moment $M$ : moment de flexion

pour formuler l'équilibre; Fig. 2 illustre ceci.

[modifier] Conventions

Pour la détermination des efforts intérieurs de poutres, il est nécessaire d'introduire un formalisme concernant le sens de la poutre considérée ainsi que le signe des efforts intérieurs.

[modifier] Sens positif de poutres

On pourrait définir le sens positif d'une poutre en définissant un axe $x$ dans le sens de la poutre, par exemple de $A$ à $B$ si on considère la poutre en Fig. 2.

Par habitude, on représente le sens positif de poutres de la manière suivante: On trace une ligne en pointillés en dessous de la poutre si le sens positif va de la gauche à la droite ou au dessus de la poutre si le sens positif est de la droite à la gauche.

Dans le cas de poutres horizontales, on met généralement cette ligne en pointillés en dessous, c'est-à-dire que le sens positif va de la gauche à la droite. Fig. 2 illustre ceci.

[modifier] Signe des efforts intérieurs

La convention suivante concernant le signe des efforts est adoptée, elle est illustrée par la Fig. 2 :

Sur le côté gauche : l'effort normal $N$ sort de la poutre, l'effort tranchant $V$ monte vers le haut et le moment $M$ tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ;
Sur le côté droit : l'effort normal $N$ sort de la poutre, l'effort tranchant $V$ va vers le bas et le moment $M$ tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Fig. 2 illustre ceci.

Fig. 2: Efforts intérieurs et conventions utilisés

[modifier] Diagrammes des efforts intérieurs

Comme les efforts intérieurs sont en général dépendants de la position $x$ dans la poutre, on représente ces derniers comme des fonctions le long de l'axe des $x$ en traçant des lignes. Il est convenu de tracer les valeurs positives du côté de la ligne en pointillés, les valeurs négatives en dessus, comme l'illustre Fig. 3.

[modifier] Détermination des efforts intérieurs

La détermination des efforts intérieurs repose sur les conditions d'équilibre. Pour cela on suit le procédé suivant :

On détermine les réactions d'appui de la barre sous les charges considérées ;
On coupe la barre à un endroit $x$ ;
On formule l'équilibre à l'aide des conditions d’équilibre du plan puis
On trace les valeurs $N (x)$ , $V (x)$ et $M (x)$ le long de la poutre en suivant la convention ci-dessus.

Il est plus aisé de montrer ce procédé sur des exemples concrets.

[modifier] Barre sur deux appuis avec charge linéaire q

[modifier] Problème

Soit la poutre de longueur $L$ reposant sur deux appuis simples en $A$ et $B$ assujettie à une charge linéaire constante $q$ telle représentée en Fig. 3.

Déterminez les diagrammes de $N$ , $V$ et de $M$ le long de la poutre.

[modifier] Solution

Les réactions d'appuis se déterminent aisément en formulant l'équilibre des moments autour de $A$ une fois et autour de $B$ une deuxième fois :

$B \times L - qL \times \frac{L}{2} = 0$ donne $B = \frac{1}{2}qL$
$-A \times L + qL \times \frac{L}{2} = 0$ donne $A = \frac{1}{2}qL$

Ensuite on coupe la poutre en la position $x$ , on remplace la partie coupée par les efforts intérieurs $N$ , $V$ et de $M$ , les appuis par les réactions d'appui et on formule l'équilibre :

$N (x) = 0$
$A -V(x) - q \times x = 0$
$V(x) = q(\frac{1}{2}L - x)$
$-A \times x + qx \times \frac{x}{2} +M(x) = 0$

ce qui donne, avec $A=\frac{1}{2}qL$ , $M(x)=\frac{1}{2}qx(L-x)$

Fig. 3 représente les efforts intérieurs.

Les efforts normaux $N (x)$ sont nuls tout le long de la poutre.
L'effort de cisaillement est maximal aux appuis : $V_A = V(x=0) = +\frac{qL}{2}$ , respectivement $V_B = V(x=L) = -\frac{qL}{2}$ . Entre ces deux valeurs, $V (x)$ est linéaire, avec $V(\frac{L}{2}) = 0$ .
Le moment $M (x)$ décrit une fonction parabolique le long de la poutre. Sa valeur est maximale en $x=\frac{L}{2}$ ou elle vaut $M_{Max} = M(\frac{L}{2})=\frac{1}{2}q\frac{L}{2}(L-\frac{L}{2})=\frac{1}{8}qL^2$ .

Fig. 3: Poutre simple sur deux appuis avec charge linéaire $q i$

[modifier] Barre sur deux appuis avec force $F$

[modifier] Problème

Soit la poutre de longueur $L$ reposant sur deux appuis simples en $A$ et $B$ assujettie à une force $F$ distante de $a$ de $A$ et de $b$ de $B$ . Le système est représenté en Fig. 4.

Déterminez les lignes de $N$ , $V$ et de $M$ le long de la poutre.

[modifier] Solution

La aussi, on détermine en premier lieu les réaction d'appui :

$F\times a-B\times L=0$ donne $B = \frac{a}{L}F$ ou bien $B = \frac{a}{a+b}F$ ;
$-A \times L + F \times b = 0$ donne $A = \frac{b}{L}F$ ou bien $A = \frac{b}{a+b}F$ .

Pour la détermination des efforts intérieurs, il faudra procéder par intervalles. En premier, étudions l'intervalle (1) : $0\leq x<a$ :

$N 1 (x) = 0$
$A - V 1 (x) = 0$ qui donne $V 1 (x) = A$ $V_1(x)=\frac{b}{a+b}F$ et ensuite
$-A \times x + M_1(x) = 0$ qui donne $M_1(x)=x\frac{b}{a+b}F$

A présent l'intervalle (2) : $a<x\leq L$ :

$N 2 (x) = 0$
$B + V 2 (x) = 0$ qui donne $V 2 (x) = - B$ ou bien $V_2(x) = -\frac{a}{a+b}F$
$-B \times (L-x) + M_2(x) = 0$ qui donne $M_2(x) = (L-x)\frac{a}{a+b}F$

Comme la force F agit exactement à $x\,=\,a$ , il n'est formellement pas possible de décider à quel intervalle appartient ce point ; l’effort tranchant $V (a)$ à cet endroit est donc indéfini. Notons que l'ambiguïté n'existe que pour $V (a)$ , car :

$N 1 (a) = N 2 (a) = 0$ est bien défini
$M_1(a) = a\frac{b}{a+b}F = \frac{ab}{a+b}F$ et $M_2(a)=(L-a)\frac{a}{a+b}F=\frac{ba}{a+b}F$ donne $M 1 (a) = M 2 (a)$ est aussi bien défini

Fig. 3: Poutre simple sur deux appuis avec charge $F$

[modifier] Voir aussi

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../p/o/u/Poutre_%28%C3%A9l%C3%A9ment_de_structure%29.html »

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Sommaire

[modifier] Introduction

[modifier] Effort intérieurs

[modifier] Conventions

[modifier] Sens positif de poutres

[modifier] Signe des efforts intérieurs

[modifier] Diagrammes des efforts intérieurs

[modifier] Détermination des efforts intérieurs

[modifier] Barre sur deux appuis avec charge linéaire q

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[modifier] Détermination des efforts intérieurs

[modifier] Barre sur deux appuis avec charge linéaire q

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[modifier] Barre sur deux appuis avec force F

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