Pore du savetier
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Un apore est une affirmation qu'on ne peut démontrer.
Un pore ou porisme est le nom antique de démonstration.
Un savetier fabriquait des savots autrefois.
Le pore du savetier est donc certainement ancien ( datant de Galilée ?):
Le problème est le suivant : un pendule simple est un bon garde-temps pour les multiples de son quart de période, mais pas pour ses sous-multiples.
Le problème est classique : si on connaît la vitesse d'un mobile dans son parcours ( vitesse cursive ou abscissale, v(s)), on peut en inférer le temps par intégration numérique t(s), mais se posera le problème de l'inversion si on cherche la position en fonction du temps. C'est l'exemple du problème de Kepler : comment trouver u(t) dans :
nt = u - e sin(u)
Inversement, si on connaît le diagramme horaire, v(t), on connaîtra s(t), mais se posera alors le problème de l'inversion de cette fonction pour posséder une bonne horloge. C'est par exemple le célèbre problème de l'inversion du mouvement du pendule, en particulier pour les études du pendule balistique. Certes la construction d'abaques permet de résoudre numériquement le problème, mais il se trouve que dans le cas intégrable du pendule simple, il existe une manière géométrique de découper la trajectoire en segments isochrones : c'est le pore du savetier.
Sommaire |
[modifier] Rappel du cas intégrable du pendule
Soit un cercle(C), de centre O , de rayon l , de diamètre vertical AOB; cote de B = 2l. Un mobile matériel ponctuel, M, de masse m, assujeti à glisser sans frottement sur le cercle (C), part de A avec la vitesse Vo = sqrt(2g.2l) et arrive au bout d'un temps infini au but B, selon l'équation dite du "soliton":
θ(t) = − π + 4Arctan(eωt) ;
[modifier] Construction du savetier
Soit C entre O et D , avec OC = d . Construire le demi-cercle (C1), de centre C , de rayon (l-d), de diamètre vertical DCB ; la cote de B est 2d.
La figure s'appelle le couteau du savetier, car c'est la forme de la lame qui permet de tailler le cuir. Ainsi la corporisme des savetiers a un pore.
De A menons la tangente en U0 à (C1) qui recoupe (C) en A1.
Si on déclare que la mesure de la vitesse en A est AU , alors la vitesse en A1 est A1U0.
Menons la deuxième tangente de A1 à (C1), en U1 qui recoupe (C) en A2 : la vitesse en A2 est A2U1.
La construction se prolonge à l'infini.
[modifier] Démonstration
La puissance P°(M) de tout point M de (C) par rapport à (C1) est 2d.HM où H est la projection de M sur l'axe radical des deux cercles tangents en B ( cf faisceau de cercles tangents ). la tangente de M à (C1) est donc MT = sqrt(2g.HM) ( à un facteur sqrt(d/g), posé égal à 1).D'après le théorème de Torricelli ( proto-théorème de l'énergie cinétique), MT est bien la vitesse en M. Donc AU0 est bien sqrt(2g.2l) et la vitesse en A1 est bien A1U0 = A1U1 , idem pour A2, etc.
[modifier] Les dates des An sont des entiers
C'est le deuxième théorème : M arrive en An à la date n. t1
Démonstration :
Soit MKM1 la tangente courante de M à (C1)en K: quand M parcourt l'arc A0A1 , M1 parcourt l'arc A1A2. Quand M vient en M' voisin, M1 vient en M1' voisin tels que le point de croisement est K à la limite.
Or si l'on considère la similitude des triangles MM'K et M1M1'K, MM'/MK = M1M1'/M1K (d'ailleurs M1K= M1K1, ce qui permettra d'itérer le raisonnement); soit ds/v(s) = ds1/v(s1): DONC les temps sont isochrones: M et M1 et M2 etc. défilent tous de concert sur leur arc respectifs :
un gigantesque collier de perles en mouvement isochrone : c'est le collier que le savant savetier peut offrir à sa princesse, dit la chanson folklorique de l'arbelos.
