Point de branchement

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En analyse complexe, le point de branchement ou point de ramification est un point singulier d'une fonction analytique complexe multiforme, telle que la fonction racine n-ème ou le logarithme complexe. En ce point s'échangent les différentes déterminations.

Géométriquement, cette notion délicate est liée à la surface de Riemann associée à la fonction et représente un phénomène général appelé monodromie.

Pour donner une image, cela correspond à un escalier en colimaçon dont l'axe (réduit à un point) est placé à la singularité, desservant plusieurs (voire une infinité) d'étages. Dans le cas d'un nombre fini d'étages, l'escalier a une propriété de périodicité : arrivé au dernier étage, on peut continuer à monter et on se retrouve... au rez-de-chaussée.

En pratique, il suffit de tourner autour d'un point de branchement pour changer d'"étage".

Les différents étages sont appelés des feuillets. L'ordre du point est égal au nombre de feuillets.

[modifier] Exemples

La fonction "racine n-ième" est une fonction multiforme admettant le point 0 comme point de branchement d'ordre n.

La fonction logarithme néperien est également multiforme et admet 0 comme point de branchement d'ordre infini (on dit "point de branchement logarithmique" ou "singularité logarithmique" en ce cas).

[modifier] Remarque

Le rayon de convergence d'une fonction analytique complexe est limité par une ou plusieurs singularités sur son cercle de convergence. Les points de branchement en font partie.

Exemple: soit $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}$ . Cette fonction reste bornée partout sur son cercle de convergence |z|=1. Elle ne peut donc pas y admettre un pôle (elle tendrait vers l'infini), ou un point singulier essentiel (pour tout nombre strictement supérieur à $π 2 / 6$ , il existerait une suite de points où la somme tendrait vers ce nombre, les points restant de modules inférieurs à 1, ce qui est impossible). La seule solution est qu'elle y admet un point de branchement. Et effectivement, elle admet le point z=1 comme point de branchement (logarithmique) et comme unique singularité.