Pendule de Huygens

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Le pendule de Huygens est constitué d'un point matériel M, pesant, se déplaçant sur la parabole $z= x^2/2p\,$ dans un plan tournant à la vitesse angulaire $\omega\,$ , d'axe vertical. Il ne mérite de fait pas son appellation de pendule puisqu'il n'oscille pas. Néanmoins il fournit un résultat intéressant pour la compréhension du pendule conique.

[modifier] Présentation

Huygens a imaginé pour ce faire une came d'équation $z_p = {3\over 2} (px^2)^{1/3}\,$ , ce qui est l'équation de la développée de la parabole.

On constate que selon la valeur de la vitesse angulaire, M se trouve soit en bas , soit en haut du dispositif, la vitesse critique étant

$\omega_0 = \sqrt( g/p)$ ,

pour laquelle l'équilibre est indifférent.

[modifier] Explication

On considère les énergies potentielles des forces en présence dans le référentiel tournant :

L'énergie potentielle de pesanteur $mgz\,$ , soit $E_p=\frac {mgr^2}{2p}$ (avec $z = r^2/2p\,$ )
L'énergie potentielle dont dérive la force d'entraînement (axifuge) : $E_e=-m\omega^2 r^2/2\,$

La masse ponctuelle M se situe, à l'équilibre, au point où l'énergie totale $E=E_p+E_e\,$ atteint un extremum, donc là où sa dérivée s'annule.

$\frac{dE}{dr}=0 \Leftrightarrow \frac{mgr}{p}-m\omega_0^2 r = 0 \Leftrightarrow r=0 \quad ou \quad \omega_0 = \sqrt( g/p)$ Lorsque $r=0\,$ , M se trouve en bas de la parabole, lorsque $\omega = \omega_0\,$ toute la parabole se trouve à l'équilibre, M reste là où il se trouve (là où il se trouvait lorsque la vitesse critique a été atteinte). Le cas où M se trouve en haut est un cas hors équilibre, dû aux contraintes physiques posées par la came.

[modifier] Application

On peut observer la parabole de Huygens avec un liquide :

On emprisonne de l'eau colorée entre deux plans transparent verticaux et très proches, pour obtenir un film de liquide (qui ne remplit pas entièrement l'espace entre les deux plans)
On met l'ensemble en rotation autour d'un axe vertical à la vitesse $\omega_0\,$ quelconque (fixée par l'expérimentateur)

On remarque alors que la surface du liquide se courbe pour adopter la forme d'une parabole, d'équation identique à celle de la came de Huygens, avec le paramètre $p\,$ valant $\frac{g}{\omega_0^2}$