Partage d'une tarte
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Vous avez de Le problème de partager une tarte afin de donner une part égale à chaque convive est similaire au problème de géométrie de partager un disque en autant de portions de forme identique et de même surface.
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[modifier] Construire un diamètre, repérer le centre de la tarte
Tracez une corde et trouvez-en la médiatrice. C'est un diamètre. Le centre est l'intersection de deux diamètres ; pour le trouver il suffit de répéter l'opération.
[modifier] Si vous êtes 2, 4, 8, 16...
Vous devez d'abord construire un diamètre de la tarte. Il faut ensuite construire successivement la bissectrice de chaque angle créé.
[modifier] Si vous êtes 3, 6, 12...
Il faut d'abord partager la tarte en trois, puis appliquer la méthode ci-dessus pour partager ensuite les angles en deux.
Le partage en trois s'appuie sur de la trigonométrie élémentaire: il vous faut construire un diamètre et le partager en quatre parties égales. Projeter un des points obtenus sur le cercle (en vert sur la figure). Il ne reste plus qu'à couper selon les traits rouges.
[modifier] Démonstration
[modifier] Si vous êtes 6, autre méthode
Pour partager en 6, il vous faut prendre la mesure du rayon de la tarte et la reporter sur une des cordes. En reportant la mesure 6 fois, vous obtenez un bon partage. En effet, la longueur du rayon est égale à la longueur d'un côté d'un hexgone régulier.
[modifier] Si vous êtes 5, 10, 20...
Vous aurez maintenant compris que la difficulté est de partager en cinq. Voir Construction à la règle et au compas
[modifier] Si vous êtes 7,9,11,13,19...
Si l'on s'en tient exactement à l'énoncé du problème ces partages sont impossibles puisque ces nombres ne vérifient pas le théorème de Gauss-Wantzel.
Néanmoins, on peut réussir certains partages de manière exceptionnelle :
Le partage en 7 parts : La construction de Neusis permet de construire l'heptagone régulier à la règle et au compas si l'on se permet de coller pour un instant le compas sur la règle. Sans rentrer dans le détail de la méthode de Neusis, l'intérêt de cet outil "compas collé sur règle" (ou encore "règle graduée") permet de tracer une droite (avec la règle) contenant trois points dont deux sont à distance prédéfinie (via le compas).
Le partage en 9 parts : si on n'impose plus la condition "parts de même forme", on peut découper une tarte en neuf parts "égales". On commence par tracer 8 parts égales via les huits angles à 45°. Ensuite, on construit le cercle de même centre que la tarte et dont le rayon est le tiers de celui de la tarte.
Le premier convive prend le disque central (exactement 1/9 de la tarte) et les autres prennent les 8 morceaux restant emputés de la part du premier convive.
En effet le disque central a une surface de π×(R/3)² soit π×R²/9. Les autres parts ont pour surface 1/8 π (R²-(R/3)²) c'est-à-dire π×R²/9 !
[modifier] Si vous êtes 17
Ce partage est possible puisque 17 vérifie le théorème de Gauss-Wantzel. À 17 ans, Gauss avait déjà trouvé une méthode pour constuire l'heptadécagone.
