Paradoxe des nombres intéressants

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Le paradoxe des nombres intéressants stipule que tous les nombres entiers naturels ont des propriétés intéressantes. Ce paradoxe fait partie des mathématiques récréatives de par l'informel de la notion de nombre intéressant.

La démonstration se fait par l'absurde. On considère l'ensemble $I$ des nombres entiers inintéressants. Cet ensemble est inclus dans $\mathbb N$ , donc soit cet ensemble est vide et le résultat est acquis, soit cet ensemble possède un élément $e$ qui est le plus petit de l'ensemble. L'élément $e$ a une propriété particulière, celle d'être le plus petit de son ensemble, il est donc intéressant et ainsi ne peut pas faire partie de l'ensemble $I$ . Par suite l'ensemble $I$ ne peut être que vide, c'est-à-dire que tout nombre entier est intéressant.

Pour aller plus loin, on peut généraliser cette notion à l'ensemble des entiers relatifs avec une démonstration analogue pour les entiers négatifs. On peut même étendre aux rationnels, en partant par exemple du principe qu'un nombre est intéressant s'il s'écrit sous forme de fraction d'entiers intéressants. Quant aux nombres réels, en partant par exemple du principe qu'un nombre est intéressant s'il est limite d'une suite de nombres intéressants, alors tous les nombres réels sont intéressants par construction via les suites de Cauchy (voir Construction des nombres réels). Bien entendu des extensions aux complexes et aux hypercomplexes sont possibles.

[modifier] Commentaires sur le paradoxe

Cette démonstration n'a aucune validité mathématique puisqu'il n'existe aucune définition mathématique d'un nombre intéressant en théorie des nombres ou en Analyse. Elle ne souffre cependant d'aucun vice.

En fait il s'agit d'une boutade de mathématiciens, utilisable par exemple lorsque quelqu'un prétend que tous les travaux mathématiques intéressants ont déjà été accomplis. Il illustre également la possibilité de faire des mathématiques sur des notions floues.

Les principes d'extensions à des ensembles de plus en plus grand sont contestables de par le principe d'extension choisie pour la notion de nombre intéressant. Si jamais celui-ci est réfuté, d'autres peuvent être trouvés tel que la définition d'un nombre comme intéressant s'il possède au moins une propriété. Le fait de ne pas en posséder étant une propriété, on aboutit à un paradoxe similaire et tout nombre (quel qu'il soit) est intéressant.

À noter que le refus de cette dernière définition ne conduit pas à un paradoxe.