Matrice d'inertie

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La matrice d'inertie est un outil mathématique utilisé pour décrire les efforts d'inertie appliqués à un solide.

[modifier] Notation

Cette matrice s'écrit : $\begin{bmatrix} I _a(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix} _R$ .

avec a point quelconque du solide (S), R repère orthonormé direct, A,B,C moments d'inertie par rapport à $\vec x, \vec y, \vec z$ vecteurs unitaires de R et D,E,F produits d'inertie.

[modifier] Calcul des coefficients de la matrice

A, B et C sont des moments d'inertie par rapport à un axe (respectivement $\vec x, \vec y, \vec z$ ).

$A = \int _{(S)} (y^2 + z^2) \,dm = \int _{(S)} y^2 \,dm + \int _{(S)} z^2 \,dm$

$B = \int _{(S)} (x^2 + z^2) \,dm$

$C = \int _{(S)} (x^2 + y^2) \,dm$

E,D et F sont des produits d'inertie, ils modèlisent une dissymétrie géométrique ou massique (solide non homogène) par rapport aux plans $(\vec y, \vec z )$ , $( \vec x, \vec z )$ , $( \vec x, \vec y )$ .

$D = \int _{(S)} (yz) \,dm$

$E = \int _{(S)} (xz) \,dm$

$F = \int _{(S)} (xy) \,dm$

[modifier] Simplification et transport

Pour simplifier l'écriture de la matrice d'inertie, on choisit de l'écrire en G centre d'inertie du solide S. De plus, on choisit un repère compatible avec les plans de symétrie de S, s'ils existent.

Exemple d'un arbre de matériau homogène de longueur L, de rayon R, de masse M et avec pour axe principal $\vec x$ .

$\begin{bmatrix} I _G(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} \frac{MR^2}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{MR^2}{4}+\frac{ML^2}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{MR^2}{4}+\frac{ML^2}{12} \end{bmatrix} _R$ .

Pour écrire une matrice d'inertie en un autre point on applique le théorème de Huygens.

Exemple de transport de matrice d'inertie.

Soit $\begin{bmatrix} I _G(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A & -F & -E \\ -F & B & -D \\ -E & -D & C \end{bmatrix} _R$ et $\vec {AG} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}_R$

on aura $\begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix} _R = \begin{bmatrix} A + M (b^2+c^2) & -F-Mab & -E-Mac \\ -F-Mab & B + M(c^2+a^2) & -D-Mbc \\ -E-Mac & -D-Mbc & C+M(a^2+b^2) \end{bmatrix} _R$