Martingale (calcul stochastique)
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En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus X est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date, dénotée Fs, est la valeur à cette même date :
- E(Xt | Fs) = Xs
Notons que X est un processus adapté à la filtration F.
On parlera de sous-martingale si E(Xt | Fs) > Xs et de sur-martingale si E(Xt | Fs) < Xs.
Sommaire |
[modifier] Définitions
Processus stochastique
Un processus stochastique est une famille de variable aléatoire, généralement indexée par ou .
Filtration
Une filtration est une suite croissante de tribu , c'est-à-dire
Filtration naturelle
Soit une suite de variables aléatoires. On dit que définie par est la filtration naturelle de la suite .
Processus adapté
On dit que le processus est adapté à la filtration si Xn est pour tout entier n.
Martingale
Soit une filtration.
Soit une suite de variables aléatoires.
On dit que est une martingale par rapport à si:
- est adaptée à la filtration .
- est intégrable pour tout entier n.
- .
Si respecte les deux premières conditions, et alors on l'appelle sous-martingale, et si , alors on l'appelle sur-martingale.
On dit que est une -martingale.
Processus prévisible
Soit une filtration.
Soit une suite de variables aléatoires.
On dit que est processus prévisible si est -mesurable et est -mesurable pour tout entier n.
[modifier] Propriétés
Propriété 1
Soit une martingale.
On a
Autrement dit, la suite est constante.
[modifier] Exemples de martingales
exemple 1
Soit une variable aléatoire intégrable et .
Alors est une -martingale.
exemple 2
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.
La suite définie par est une -martingale avec .
exemple 3
Soit (Xn)n une -martingale, soit (Yn)n un processus borné prévisible par rapport à .
Alors définie par est une -martingale.
[modifier] Les martingales et les temps d'arrêts
Théorème 1
Soit une martingale et un temps d'arrêt .
Alors est une martingale (appelé "martingale arrêtée").
Démonstration:
- .
sont -mesurable.
Donc est -mesurable
- d'où est intégrable.
Or sont -mesurable , de même pour .
Corollaire