Méthode d'Euler
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Sommaire |
[modifier] Équation différentielle
La méthode d'Euler est une méthode numérique élémentaire de résolution d'équations différentielles du premier ordre, de la forme
où est un intervalle de et une fonction réelle sur .
Étant donnée une condition initiale , la méthode fournit pour tout point une suite d'approximations de la valeur que prend, lorsqu'elle existe, la solution de l'équation qui correspond à cette condition initiale. Divers jeux de conditions sur peuvent assurer la convergence de cette série.
s'obtient en calculant valeurs intermédiaires de la solution approchée aux points régulièrement répartis entre et , donnés par
On étend cette notation à et . Ces valeurs intermédiaires sont alors données par la relation de récurrence
[modifier] Intégration d'une fonction
L'intégration d'une fonction continue sur un segment peut être vue comme un cas particulier où la fonction est continue et ne dépend que de . On démontre alors aisément, en utilisant la continuité uniforme de sur (théorème de Heine), que la suite est de Cauchy, et donc converge par complétude de .
[modifier] Méthode d'Euler pour une fonction
Pour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x0, xn], on divise I en n intervalles et on choisit
Pour la valeur initiale y0 on a F(x0) = G(x0) = y0 ce qui permet de placer le premier point A0 (x0 ; y0).
Pour les n valeurs x1 = x0 + h, x2 = x1 + h, ..., xn = xn-1 + h, on calcule de proche en proche, en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x1), F(x2), ..., F(xn) de G.
En effet G est dérivable en x0 et G'(x0) = f(x0) :
F(x0 + h) = F(x0) + h f(x0) donc F(x1) = y0 + hG'(x0) G(x1) ; soit y1 = y0 + h f(x0) st F(x1) = y1 G(x1).
On recommence avec x1 :
F(x1 + h) = F(x1) + h f(x1) donc F(x2) = y1 + hG'(x1) G(x1) + hG'(x1) G(x2) ; soit y2 = y1 + h f(x1) et F(x2) = y2 G(x2).
Puis y3 = y2+ h f(x2) = F(x3) G(x3).
Et ainsi de suite n itérations jusqu'à yn = yn-1 + h f(xn-1) = F(xn) G(xn).
[modifier] Exemple :
Étant donné la fonction et des valeurs initiales x0 = 1 et .
Le calcul des valeurs F(x1), F(x2), F(x3), ... permet d'obtenir la représentation graphique de F par les segments [A0A1], [A1A2], [A2A3], ...
La fonction a pour primitive avec x0 = 1 et .
La courbe (C) représentative de G est ici placée sur le même graphe pour visualiser le calcul des tangentes.
La fonction affine est une approximation de la primitive G.
[modifier] Lien externe
Augmenter n pour diminuer h et obtenir de bien meilleurs résultats :