Intersection transverse
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Deux sous-variétés différentielles M et N d'une variété différentielle P s'intersectent transversalement lorsque, pour tout point x de , on a :
Dans la suite, m,n,p désignent les dimensions respectives de M,N,P.
Remarques :
- La définition reste valable pour les variétés banachiques.
- Deux sous-variétés disjointes s'intersectent transversalement.
- Si m + n < p, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés M et P sont disjointes.
Théorème. Si , alors l'intersection est une sous-variété différentielle de dimension m + n − p.
Exemple : deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions s'intersectent transversalement si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière.
[modifier] Nombre d'intersection.
[modifier] Généricité
Théorème. Si M et N sont deux sous-variétés Ck de dimensions respectives m et n, alors il existe un Ck difféomorphisme h de P, aussi proche de l'identité que souhaité en topologie Ck, tel que h(M) intersecte transversalement N.
En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.
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