Intégrale de Fresnel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

Pour les articles homonymes, voir Fresnel.

Cet article est une ébauche à compléter concernant l'analyse (branche des mathématiques), vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

[modifier] Formule de Fresnel

$\int_{0}^{+\infty} \cos(x^2)dx = \int_{0}^{+\infty} \sin(x^2)dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

On en déduit l'intégrale de Fresnel complexe : $\int_{0}^{+\infty} e^{\pm i x^2} dx = \int_{0}^{+\infty} \cos(x^2)dx \pm i \int_{0}^{+\infty} \sin(x^2)dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}( 1 \pm i ) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{\pm i\frac{\pi}{4}}$

[modifier] Calcul de l’intégrale de Fresnel

Considérons pour tout $t\in\R$ la fonction de $\R^+$ dans $\mathbb C$ définie par $u\mapsto {\exp [-(u^2+i)\,t^2]\over u^2+i}$ . Cette fonction est intégrable puisqu'étant continue sur $\R^+$ et, avec $\Re \mathrm{e}(-(u^2+i))<0$ , négligeable au voisinage de $+\infty$ devant $u\mapsto\frac{1}{u^2}$ .

Il est donc loisible de poser $f$ , la fonction définie pour tout t par l'intégrale à paramètre suivante :

$f(t)=\int_0^{+\infty}{\exp [-(u^2+i)\,t^2]\over u^2+i}\,du$

On montre que f est de classe $C 1$ sur $\R^{+*}$ et que

$\forall t\in\R^{+*},\,f'(t)=-2t\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-u^2\,t^2}du$

Démonstration

En opérant un changement de variable linéaire par la fonction $\R^+\rightarrow\R^+,\,u\mapsto u\,t=v$ , on aboutit immédiatement à, pour tout $t\in\R^{+*}$ :

$f'(t)=-2\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-v^2}\,dv$

L'intégrale définie est ici bien connue (voir l'article sur l'intégrale de Gauss) et vaut $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ . Ainsi, on a une expression plus simple de la dérivée de $f$ : $f'(t)=-\sqrt{\pi}\mathrm{e}^{-it^2}$ .

L'application du théorème de convergence dominée permet de montrer que $\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=0$

Démonstration

Par conséquent, de l'expression de $f'$ , on déduit en intégrant sur $\R^+$ (fonctions intégrables) :

$\sqrt{\pi}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,dt = f(0)$

D'autre part, $f(0)=\int_0^{+\infty}{1\over u^2+i}\,du$ . On se sert alors d'une intégrale classique : $\int_0^{+\infty}{1\over u^4+1}\,du=\int_0^{+\infty}{u^2\over u^4+1}\,du$ et de l'expression $1\over u^2+i$ sous la forme $u^2-i\over u^4+1$ pour en déduire que $\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,dt = {\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i)$ .

Il reste à prendre la partie réelle (respectivement la partie imaginaire) pour conclure :

$\Re \mathrm{e}\left(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,dt\right) = \int_{0}^{+\infty}\cos(-x^2)\,dx=\Re \mathrm{e}\left({\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i) \right)= {\sqrt{2\pi}\over 4} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

(respectivement que $\Im \mathrm{m}\left(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,dt\right) = \int_{0}^{+\infty}\sin(-x^2)\,dx=-\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx=\Im \mathrm{m}\left({\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i) \right)= -{\sqrt{2\pi}\over 4} = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ ).

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../i/n/t/Int%C3%A9grale_de_Fresnel_2749.html »

Catégories : Wikipédia:ébauche analyse • Intégrale

Intégrale de Fresnel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

[modifier] Formule de Fresnel

[modifier] Calcul de l’intégrale de Fresnel

Views

Navigation

Contribuer

Recherche