Incomplétude ontologique
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous avez de L’incomplétude ontologique est le manque de noms pour nommer tout ce qui existe. Il y a plus d’êtres dans la réalité que tout ce que nous pouvons dire.
[modifier] Les ensembles indénombrables et l’incomplétude ontologique
A partir des théorèmes de Georg Cantor sur l’existence des ensembles indénombrables, on peut prouver que l’incomplétude ontologique est une propriété nécessaire de toutes les théories. Cela montre que la raison est capable de connaître ses propres limites.
Appelons dicibles les ensembles tels qu’une théorie puisse contenir des noms pour tous leurs éléments, et indicibles les autres. Le théorème fondamental de l’incomplétude ontologique affirme qu’il existe des ensembles indicibles.
Un ensemble E est infini dénombrable s’il existe une fonction inversible, ou bijection, ou correspondance biunivoque, entre E et N, l’ensemble des entiers positifs.
Si un ensemble n’est ni fini, ni dénombrable, on dit qu’il est indénombrable. Le théorème de l’incomplétude ontologique est une conséquence des théorèmes de Cantor, parce qu’un ensemble indénombrable est indicible. Pour le prouver, il suffit de montrer que l’ensemble de tous les noms dans une théorie est toujours au plus dénombrable.
La définition d’une théorie respecte deux conditions.
a) L’alphabet, ou liste des symboles fondamentaux, ou lettres, est toujours fini.
b) Les mots, ou expressions formelles, sont des suites finies de lettres.
Pour prouver que l’ensemble infini de tous les mots est dénombrable il suffit de définir un ordre, par exemple l’ordre lexicographique, sur cet ensemble. L’existence de la fonction inversible qui associe à chaque mot son numéro d’ordre suffit pour terminer la preuve.
Certains logiciens ont défini des “théories” pour lesquelles l’une ou l’autre des conditions a et b n’est pas vraie. Alors l’ensemble des mots peut être indénombrable. Mais ce ne sont pas des théories au sens ordinaire du mot. Même lorsque la condition a est relachée et qu’on autorise un alphabet infini dénombrable, l’ensemble de tous les mots est encore dénombrable.
