Formules de mécanique des fluides
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[modifier] Statique des fluides
[modifier] Loi fondamentale de la statique des fluides
Pour un fluide au repos soumis à un champ de forces volumique , où ρ désigne la masse volumique, le champ de pression
vérifie la relation
![\vec{\nabla}p = \rho \vec{f}](../../../math/5/3/b/53b49dc2e7bfc6c2f598ef424b192820.png)
Exemple: Lorsque le fluide est soumis uniquement aux forces de gravité , on a la relation
![\vec{\nabla}p = \rho \vec{g}](../../../math/4/5/8/45868eac00389d1d7d91e82320fddcf0.png)
soit, sachant que le champ de gravité est dirigé dans la direction verticale,
![\frac{\partial p}{\partial z} = - \rho g](../../../math/e/3/8/e38f7a1b86808434ac8e3a97ec2730bb.png)
[modifier] Poussée d'Archimède
Tout corps plongé dans un fluide est soumis à une poussée de bas en haut égale au poids du volume du fluide déplacé.
Soit un corps de masse volumique et de volume
plongé dans un fluide de masse volumique ρf. La poussée d'Archimède que le fluide exerce sur ce corps est la force
![\vec{p}_A = - \rho_f V \vec{g}](../../../math/b/b/b/bbbecfa67b8b88c34a1ecb98c2254b8f.png)
Le poids apparent de ce corps dans le fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède, soit
![\vec{p}_{app} = (\rho - \rho_f) V \vec{g}](../../../math/f/b/4/fb46af0bd72dc0bbef41124beb3ff2f9.png)
Remarque: Lorsque la masse volumique du corps est inférieure à celle du fluide, le poids apparent est négatif. Voilà pourquoi une planche de bois remonte toujours à la surface de l'eau.
[modifier] Dynamique des fluides parfaits incompressibles
[modifier] Equations d'Euler pour un écoulement incompressible
Soit l'écoulement incompressible d'un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, dans un champ de force massique . En première approximation, sa masse volumique
est constante. En un point quelconque du fluide
et à un instant quelconque
, les champs de pression
et de vitesse
vérifient les relations:
![\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0](../../../math/7/0/2/702347bd7f1574818cd9b1ef23dcc199.png)
![\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f}](../../../math/d/3/6/d360a2ab86034716a91ec9e2412e2d76.png)
En coordonnées cartésiennes , ces relations s'écrivent
![\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0](../../../math/f/3/9/f399b637771e7bc8a6ae285374c7b00d.png)
![\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j \; , \; \; j = 1,2,3](../../../math/f/8/c/f8c45e65869cc5137c3051c44e7bc2c3.png)
[modifier] Ecoulement potentiel - Potentiel des vitesses
Un écoulement de fluide est dit potentiel lorsque
![\vec{\nabla} \times \vec{v} = \vec{0}](../../../math/8/5/b/85b58d9491648893c7adefa1a7f5e0e5.png)
Dans ce cas, il existe une fonction potentiel des vitesses qui vérifie
![\vec{v} = \vec{\nabla} \phi](../../../math/f/a/b/fab89d4fba86b4b43631ed1dd3fbc902.png)
[modifier] Relations de Bernouilli
[modifier] Ecoulement stationnaire et potentiel
![\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte](../../../math/4/6/0/4600472221a181304f86eddc37cde10a.png)
en tout point de l'ecoulement.
[modifier] Ecoulement stationnaire et non-potentiel
![\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte](../../../math/4/6/0/4600472221a181304f86eddc37cde10a.png)
le long d'une ligne de courant.
[modifier] Ecoulement instationnaire et potentiel
![\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte](../../../math/5/1/c/51c85441e3b79a955ad54be0d7a8dfb9.png)
en tout point de l'ecoulement.
[modifier] Dynamique des fluides visqueux incompressibles
[modifier] Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible
Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique . La viscosité cinématique du fluide est notée ν (unité SI: m2 / s). En un point quelconque du fluide
et à un instant quelconque
, les champs de pression
et de vitesse
vérifient les relations:
![\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0](../../../math/7/0/2/702347bd7f1574818cd9b1ef23dcc199.png)
![\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f} + \nu \nabla^2 \vec{v}](../../../math/7/6/8/768789a15d14f5be61a2472cad7a7cd5.png)
En coordonnées cartésiennes , ces relations s'écrivent
![\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0](../../../math/f/3/9/f399b637771e7bc8a6ae285374c7b00d.png)
![\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j + \nu \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2 v_j}{\partial x_i^2}\; , \; \; j = 1,2,3](../../../math/a/3/5/a35dfb4119357c7347045f66ba5eb459.png)