Formules de mécanique des fluides

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Sommaire

1 Statique des fluides
- 1.1 Loi fondamentale de la statique des fluides
- 1.2 Poussée d'Archimède
2 Dynamique des fluides parfaits incompressibles
3 Dynamique des fluides visqueux incompressibles
- 3.1 Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

[modifier] Statique des fluides

[modifier] Loi fondamentale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos soumis à un champ de forces volumique $\vec{F} = \rho \vec{f}$ , où $ρ$ désigne la masse volumique, le champ de pression $\; p(x,y,z,t)$ vérifie la relation

$\vec{\nabla}p = \rho \vec{f}$

Exemple: Lorsque le fluide est soumis uniquement aux forces de gravité $\left( \vec{F} = \rho \vec{g} \right)$ , on a la relation

$\vec{\nabla}p = \rho \vec{g}$

soit, sachant que le champ de gravité est dirigé dans la direction verticale,

$\frac{\partial p}{\partial z} = - \rho g$

[modifier] Poussée d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide est soumis à une poussée de bas en haut égale au poids du volume du fluide déplacé.

Soit un corps de masse volumique $\; \rho$ et de volume $\; V$ plongé dans un fluide de masse volumique $ρ f$ . La poussée d'Archimède que le fluide exerce sur ce corps est la force

$\vec{p}_A = - \rho_f V \vec{g}$

Le poids apparent de ce corps dans le fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède, soit

$\vec{p}_{app} = (\rho - \rho_f) V \vec{g}$

Remarque: Lorsque la masse volumique du corps est inférieure à celle du fluide, le poids apparent est négatif. Voilà pourquoi une planche de bois remonte toujours à la surface de l'eau.

[modifier] Dynamique des fluides parfaits incompressibles

[modifier] Equations d'Euler pour un écoulement incompressible

Soit l'écoulement incompressible d'un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, dans un champ de force massique $\vec{f}$ . En première approximation, sa masse volumique $\; \rho$ est constante. En un point quelconque du fluide $\; M(x,y,z)$ et à un instant quelconque $\; t$ , les champs de pression $\; p(x,y,z,t)$ et de vitesse $\vec{v}(x,y,z,t)$ vérifient les relations:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f}$

En coordonnées cartésiennes $\; (x_1, x_2, x_3)$ , ces relations s'écrivent

$\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0$

$\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j \; , \; \; j = 1,2,3$

[modifier] Ecoulement potentiel - Potentiel des vitesses

Un écoulement de fluide est dit potentiel lorsque

$\vec{\nabla} \times \vec{v} = \vec{0}$

Dans ce cas, il existe une fonction potentiel des vitesses $\; \phi$ qui vérifie

$\vec{v} = \vec{\nabla} \phi$

[modifier] Relations de Bernouilli

[modifier] Ecoulement stationnaire et potentiel

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$

en tout point de l'ecoulement.

[modifier] Ecoulement stationnaire et non-potentiel

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$

le long d'une ligne de courant.

[modifier] Ecoulement instationnaire et potentiel

$\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$

en tout point de l'ecoulement.

[modifier] Dynamique des fluides visqueux incompressibles

[modifier] Equations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique $\vec{f}$ . La viscosité cinématique du fluide est notée $ν$ (unité SI: $m 2 / s$ ). En un point quelconque du fluide $\; M(x,y,z)$ et à un instant quelconque $\; t$ , les champs de pression $\; p(x,y,z,t)$ et de vitesse $\vec{v}(x,y,z,t)$ vérifient les relations:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f} + \nu \nabla^2 \vec{v}$